149. Soluzioni del 19 maggio 2025 – Alcuino di York

Soluzioni del 19 maggio 2025 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri abbiamo presentato tre problemi utili e divertenti proposti da Alcuino di York (735 circa – 804) circa 1200 anni fa, che vennero utilizzati come strumenti per l’educazione dei giovani alle questioni matematiche. Di seguito pubblichiamo le soluzioni indicando anche il metodo utilizzato da Alcuino.

Alcuino di York – soluzioni 

1. Due uomini, che camminavano per la strada, vedendo delle cicogne dissero fra sé: “Quante sono?”. Confabulando fra loro sul numero dissero. “Se fossero altrettante e tre volte tante e poi la metà del terzo, e aggiunte due, sarebbero 100”. Dica, chi è in grado, quante erano quelle che da essi furono viste all’inizio.

1. SOLUZIONE. Come è stato giustamente rilevato nei commenti, il testo si può interpretare in diversi modi quindi con varie soluzioni. Di seguito esponiamo una possibile soluzione, prendendo spunto da quella indicata nel libro ‘Giochi matematici alla corte di Carlomagno’ a cura di Raffaella Franci, ma ce ne sono anche altre come indicato da Giorgio Vecchi e da Vic. Si tratta del cosiddetto “problema del mucchio” del quale l’autore indica solo la soluzione che può essere trovata con il metodo della ‘falsa posizione’. Se indichiamo con x il numero di cicogne all’inizio, si avrà x + x + x + x/2 + 2 = 100 quindi x + x + x + x/2 = 98. Attribuendo a x il valore 2, si ottiene il risultato 7 invece di 98, quindi con la proporzione 2 : x = 7 : 98 si determina x = 98 • 2/7 = 28.

In modo algebrico, svolgendo l’equazione avremo 7x/2 = 98 e risolvendo x = 28. Le cicogne all’inizio erano 28.

2. Disse un compratore: “Voglio acquistare 100 porci con 100 denari, in modo però che un verro sia comprato per 10 denari, una scrofa per 5 denari, due porcelli per un denaro”. Dica, chi se ne intende, quanti verri, quante scrofe e quanti porcelli devono essere affinché non si superi né si diminuisca l’importo.

2. SOLUZIONE. La soluzione proposta da Alcuino: il compratore acquista 9 scrofe e un verrò con 55 denari e 80 porcelli con 40 denari. E così ha acquistato 90 porci. Con i rimanenti cinque denari, acquista 10 porcelli, e avrà in totale 100 porci. La soluzione fornita è esatta ma viene solo parzialmente indicato come ottenerla.

Ora indicando con s, v, e p il numero delle scrofe, dei verri e dei porcelli, le condizioni dell’enunciato si traducono nelle due equazioni

(1) s + v + p = 100 porci.

(2) 5s + 10v + p/2 = 100 denari.

Dalla (1) si ottiene infatti p = 100 – s – v, sostituendo questo valore nella (2) si ha 9s +19v = 100. Data la natura del problema, le soluzioni devono essere numeri interi positivi, quindi per esempio v deve essere tale che (100 – 19v) risulti un intero positivo che sia divisibile per 9. E’ facile verificare che il solo valore per cui questo succede è 1.  Per v = 1 dalla (2) si ottiene s = 9 e dalla (2) si ottiene p = 90, cioè la soluzione indicata da Alcuino. ln questo caso vi è effettivamente una sola soluzione. Tuttavia, come vedremo al problema 3, Alcuino fornisce una sola soluzione anche in altri casi dove invece ce ne sono più di una. Quella qui presentata è la prima versione europea del cosiddetto “problema dei 100 uccelli”.

3. Un padre di famiglia aveva 20 familiari e ordinò di dare ad essi 20 moggi di grano (un moggio è un’antica misura di capacità del grano). Egli ordinò che gli uomini ricevessero tre moggi le donne due e i bambini mezzo moggio. Dica, chi può, quanti uomini, quante donne e quanti bambini devono essere.

3. SOLUZIONE. La soluzione proposta da Alcuino: moltiplica 1 per 3 fa 3, cioè un uomo ricevette 3 moggi. Similmente 5 per 2 fa 10, cioè 5 donne ricevettero 10 moggi. Moltiplica 7 × 2 fa 14, cioè 14 bambini ricevettero 7 moggi. Somma quindi 1 e 5 e 14 fa 20 e questi sono i 20  familiari. Somma quindi 3 è 10 e 7 fa 20 e questi sono i 20 moggi. Soluzione algebrica se indichiamo con x, y e z rispettivamente il numero di uomini, donne e bambini si ha (1) x + y + z = 20 familiari. (2) 3x + 2y + z/2 = 20 moggi. La (2) diviene 6x + 4y + z = 40

Dall’ultima relazione si ricava z = 40 – 6x – 4y, sostituendo nella (1) si ha 5x = 20 – 3y, per tentativi si trova facilmente una coppia di numeri interi positivi che soddisfano la (1) e tali che anche z sia un numero intero positivo.  Tali valori si hanno per y = 0 e y = 5. Al secondo valore corrisponde la soluzione (1, 5, 14) indicata da Alcuino, al primo corrisponde la soluzione (4, 0, 16) che l’autore non menziona. Questa tipologia di problemi, essendo indeterminati, hanno più di una soluzione, mentre l’autore ne fornisce sempre una sola.

4. Un altro problema di Alcuino da York aggiunto in fase di commento a questa puntata: “Un padre di famiglia morendo lasciò dei figli piccoli, 960 soldi in eredità e una moglie incinta. Ordinò che se fosse nato un maschio avrebbe ricevuto i tre quarti del totale, cioè 9 dodicesimi, e la madre avrebbe ricevuto un quarto, cioè 3 dodicesimi. Se poi fosse nata una figlia avrebbe ricevuto sette dodicesimi e la madre stessa 5 dodicesimi. Accadde poi che essa partorì due gemelli, cioè un maschio e una femmina. Spieghi, chi è in grado, quanto ricevette la madre, quanto il figlio, quanto la figlia.”

4. SOLUZIONE. Alcuino risolve il problema dividendo a metà l’eredità ripartendo ogni parte secondo le indicazioni del testamento. In questo modo, ripartendo la prima metà, al figlio spettano 360 soldi (i 9/12 di 480) alla madre spettano 120 soldi (i 3/12), mentre con l’altra metà spettano 280 alla figlia (i 7/12 di 480) e 200 alla madre (i 5/12). Quindi alla madre toccano in totale (120 + 200) = 320 soldi.

I Giochi del Lunedì tornano tra due settimane.