148. Giochi del 5 maggio 2025 – Coccinelle e poligoni regolari

I Giochi del Lunedì di Prisma del 5 maggio 2025 a cura di Fabio Ciuffoli

Oggi proponiamo quattro problemi con coccinelle immaginarie, che si rincorrono a partire dai vertici di figure geometriche regolari. Si tratta, ovviamente, di un artificio che ci permetterà di ragionare sui metodi di soluzione di problemi geometrici più o meno complessi. Invitiamo i lettori a inviarci osservazioni e proposte di soluzione utilizzando lo spazio riservato ai commenti. Domani alle ore 17.00 pubblicheremo le nostre proposte di soluzione. 

Coccinelle e poligoni regolari

Iniziamo con un esempio molto semplice. Se due coccinelle, collocate agli estremi di un segmento AB di lunghezza 1, partono nello stesso istante e si muovono l’una verso l’altra alla stessa velocità costante, si incontreranno a metà segmento e ciascuna avrà percorso ½ del segmento AB come schematizzato in figura. [In questo tipo di problemi le dimensioni della coccinella sono ininfluente]

1. Immaginiamo tre coccinelle collocate ai rispettivi vertici di un triangolo equilatero di lato 1. Ogni coccinella inizia a muoversi verso la coccinella immediatamente vicina in senso orario. (Non importa se vanno in senso orario o antiorario). Le coccinelle partono nello stesso istante, corrono tutti alla stessa velocità costante e in ogni momento ogni coccinella corre direttamente verso la coccinella vicina. Durante l’inseguimento, le coccinelle corrono a spirale prima di incontrarsi tutte al centro, come schematizzato in figura. Quanto percorre ogni coccinella prima di incontrarsi con le altre?

2. Quattro coccinelle sono ai quattro vertici di un quadrato di lato 1. Ogni coccinella inizia a correre verso la coccinella immediatamente vicina in senso antiorario. (Non importa se vanno in senso orario o antiorario). Le coccinelle partono alla stessa ora, corrono tutti alla stessa velocità e in ogni momento ogni coccinella corre direttamente verso la coccinella vicina. Durante l’inseguimento, le coccinelle corrono a spirale prima di incontrarsi tutte al centro, come schematizzato in figura. Quanto percorre ogni coccinella prima di incontrarsi con le altre?

3. Cinque coccinelle sono ai cinque vertici di un pentagono regolare di lato 1. Ogni coccinella inizia a correre verso la coccinella immediatamente vicina in senso antiorario. (Non importa se vanno in senso orario o antiorario). Le coccinelle partono alla stessa ora, corrono tutti alla stessa velocità e in ogni momento ogni coccinella corre direttamente verso la coccinella vicina. Durante l’inseguimento, le coccinelle corrono a spirale prima di incontrarsi tutte al centro, come schematizzato in figura. Quanto percorre ogni coccinella prima di incontrarsi con le altre?

4. Sei coccinelle sono ai sei vertici di un esagono regolare di lato 1. Ogni coccinella inizia a correre verso la coccinella immediatamente vicina in senso antiorario. (Non importa se vanno in senso orario o antiorario). Le coccinelle partono alla stessa ora, corrono tutti alla stessa velocità e in ogni momento ogni coccinella corre direttamente verso la coccinella vicina. Durante l’inseguimento, le coccinelle corrono a spirale prima di incontrarsi tutte al centro, come schematizzato in figura. Quanto percorre ogni coccinella prima di incontrarsi con le altre?

Il problema delle coccinelle è stato trattato da vari autori di matematica divulgativa. La nostra esposizione ha preso spunto dal testo ‘Calculus made easy’ di Silvanus P. Thompson e di Martin Gardner.

Nell’immagine in evidenza “La passeggiata delle tre coccinelle” di John Rutherford Boyd.