Soluzioni del 25 agosto 2025 a cura di Fabio Ciuffoli
Ieri abbiamo presentato due problemi geometrici ispirati al “Fiore della Vita” sui triangoli curvi, triquetre, petali. Di seguito pubblichiamo le nostre proposte di soluzione.
Il Fiore della Vita, triangoli curvi e triquetra- soluzioni
1. Il triangolo curvo è una figura geometrica ottenuta a partire da un triangolo equilatero. Si parte da un triangolo equilatero di lato L e su ciascun lato si disegna un arco di cerchio di raggio L, centrato nel vertice opposto, come illustrato in figura.
Conoscendo la lunghezza del lato del triangolo equilatero, calcolare il perimetro e l’area del triangolo curvo.
1. SOLUZIONE. Il perimetro P è dato dalla somma delle lunghezze dei tre archi di cerchio. Indicando con L il lato del triangolo equilatero, ogni arco ha raggio L e angolo di 60° quindi P = 3(2Lπ)60/360 = Lπ.
L’area A è uguale all’area del triangolo equilatero + 3 • (area di un settore circolare – area del triangolo equilatero sottostante).
In formule (√(3)/4)L2 + 3 • [(πL260/360) – (√(3)/4)L2].
Un modo più diretto e semplificato) A = 1/2 (π – √3)L2.
Se il triangolo equilatero di partenza avesse il lato lungo 1 metro, il perimetro del triangolo curvo sarebbe 3,14 m. E l’area sarebbe 0,704 m2.
2. La triquetra è un simbolo formato da tre lobi amigdaloidi a forma di mandorla che si intrecciano. Ciascuna mandorla, detta anche vesica piscis, è composta a sua volta da due cerchi di ugual raggio che si intersecano in maniera che il centro di ognuno sia sulla circonferenza dell’altro È un simbolo ricco di significati mistici e spirituali, ma può anche essere studiato geometricamente.
Supponiamo che i cerchi abbiamo raggio unitario.
2.1 Quanto misura l’area di una forma di mandorla o vesica piscis?
2.2. Quanto misurano il perimetro e l’area della triquetra?
2.3 E quanto misura l’area di un petalo del Fiore delle Vita in grigio nella figura seguente?
2. SOLUZIONE. Ci sono diversi modi per calcolare il perimetro e le aree richieste, come rilevato da alcuni commenti. Tra i metodi possibili proponiamo i seguenti:
2.1. Area a forma di mandorla (vescica piscis). E’ composta da due segmenti circolari uguali con angolo al centro di 120°. Si può calcolare l’area del settore circolare e poi sottrarre l’area del triangolo isoscele sottostante. Indichiamo con r il raggio del cerchio, con L i lati uguali del triangolo isoscele che corrispondo ai raggi del cerchio e con α l’angolo al vertice:
Area settore circolare: πr2 120/360 = 1,0466
Area triangolo isoscele sottostante: L2/2 senα = 0,433.
Infine 2 • (π/3 – senα/2)= 1,227.
2.2 Perimetro della triquetra. Ogni lobo è formato da due archi di circonferenza da 60° quindi la lunghezza di un lobo è 2 (2πr • 60/360) = 2πr/3. La triquetra ha 3 lobi, perciò il perimetro P = 3 • 2πr/3 = 2πr.
2.2 Area della triquetra. E’ data dalla somma dell’area a forma di mandorla (vescica piscis) e le aree dei due lobi. Un lobo, illustrato in figura di colore azzurro, ha l’area di un settore circolare di angolo 60° quindi: area triquetra = 1,227 + 2 • (π/6) = 2,2737.
Area di un petalo del Fiore della Vita o esafoglio misura circa 0,18.
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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
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