Giochi del Lunedì di Prisma del 25 agosto 2025 a cura di Fabio Ciuffoli
Oggi proponiamo due problemi geometrici ispirati al “Fiore della Vita” che abbiamo riprodotto nell’immagine di copertina. Si tratta di un simbolo antichissimo considerato sacro in molte culture, dall’Europa all’Africa, dal Medio Oriente alla Cina. Il modulo di base somiglia a un fiore a sei petali inserito in un cerchio. I cerchi sovrapposti vanno poi a comporre una struttura più complessa, con simmetria di tipo esagonale. In questo disegno si possono trovare triangoli curvi, triquetre, petali e altro che hanno fornito gli spunti per i problemi che presentiamo di seguito. Invitiamo i lettori a inviarci osservazioni, proposte di soluzione e commenti. Domani alle ore 17.00 pubblicheremo le nostre proposte di soluzione.
Il Fiore della Vita, triangoli curvi e triquetra
Perché i coperchi dei tombini sono, generalmente, tondi? In effetti hanno indubbi vantaggi: in qualunque modo si orienti una copertura circolare essa avrà sempre la stessa larghezza e quindi non si infilerà dentro la botola, inoltre il cerchio si può far rotolare facilmente su una superficie piatta mentre il quadrato o la forma ellittica no. Franz Reuleaux, un ingegnere tedesco del XIX secolo, diede il nome a un triangolo curvo che ha trovato largo uso nelle macchine e nella meccanica. Ad esempio i coperchi dei chiusini dell’acquedotto della Mission Bay Area di San Francisco hanno la forma di un triangolo curvo come illustrato in figura. Un coperchio di tombino di questa forma non potrebbe mai cadere nella fogna.
1. Il triangolo curvo è una figura geometrica ottenuta a partire da un triangolo equilatero. Si parte da un triangolo equilatero di lato L e su ciascun lato si disegna un arco di cerchio di raggio L, centrato nel vertice opposto, come illustrato in figura.
Conoscendo la lunghezza del lato del triangolo equilatero, calcolare il perimetro e l’area del triangolo curvo.
Considerazioni sul triangolo curvo.
Il triangolo curvo ha ampiezza costante si può far ruotare liberamente all’interno di un quadrato circoscritto. Ciò significa che una punta da trapano a forma di triangolo di Reuleaux scaverà quasi esattamente un foro quadrato. Questo vale anche per altri poligoni curvi di Reuleaux con più di tre lati, ruotando otterremo una forma poligonale con i lati dritti e un lato in più del poligono curvo. Così, come il triangolo curvo fatto ruotare genera un quadrato, l’ettagono curvo fatto ruotare (per esempio la moneta ettagonale britannica da cinquanta pence) scaverà un buco ottagonale dai lati quasi dritti.
Il motore Wankel presentato dalla casa automobilistica tedesca NSU nel 1957 utilizzava un pistone meccanico con la sezione a forma di triangolo curvo.
La moneta da un dollaro delle Bermuda coniata nel 1998 aveva la forma di un triangolo curvo.
Il simbolo del triangolo curvo viene utilizzato in numerosi contesti: mistico religiosi, artistici e architettonici, commerciali, filosofici, geometrici, musicali. Di seguito alcuni esempi. Acciaierie Thissenkrupp; Birra Ballantine; Plettro per chitarre e strumenti a corde; Zalando Abbigliamento; due componenti dei Led Zeppelin hanno scelto simboli che richiamano il triangolo curvo.
2. La triquetra è un simbolo formato da tre lobi amigdaloidi a forma di mandorla che si intrecciano. Ciascuna mandorla, detta anche vesica piscis, è composta a sua volta da due cerchi di ugual raggio che si intersecano in maniera che il centro di ognuno sia sulla circonferenza dell’altro È un simbolo ricco di significati mistici e spirituali, ma può anche essere studiato geometricamente.
Supponiamo che i cerchi abbiano raggio unitario.
2.1. Quanto misura l’area di una forma di mandorla o vesica piscis?
2.2. Quanto misurano il perimetro e l’area della triquetra?
2.3. E quanto misura l’area di un petalo del Fiore delle Vita in grigio nella figura seguente?
Aggiornamento per le soluzioni click qui.
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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
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19 risposte
P2.3.1 Supponendo che tutti i cerchi abbiano raggio unitario, quanto misurano le aree colorate di Arancio, Giallo, Turchese e Verde in figura?
Altra immagine
P2.3 Consideriamo due cerchi che si intersecano, ciascuno con raggio r. I centri dei due cerchi e un punto d’intersezione forma un triangolo equilatero di lato r ed area Atriangolo=√3r^2/4. L’angolo al centro di questo triangolo è di 60°, ovvero π/3 radianti. L’area di un settore circolare di raggio r e angolo π/3 è Asettore = (π/3)⋅r^2/2 = π/6⋅r^2. L’area di un segmento circolare (una delle due “metà” del petalo) è la differenza tra l’area del settore e quella del triangolo: Asegmento=Asettore−Atriangolo= π/6⋅r^2-√3r^2/4.
Il petalo è composto da due di questi segmenti circolari di ugual area, quindi Apetalo=2×Asegmento=2×(π/6-√3/4)r^2=(π/3-√3/2)r^2. Infine, l’area del Fiore della vita composto da 6 petali è Afiore=6×(π/3-√3/2)r^2=(2π-3√3)r^2.
Per r=1, l’area di un petalo è π/3-√3/2 e l’area del fiore 2π-3√3.
Sempre più chiaro. Grz.
P2.2 Il perimetro della triquetra è la somma delle lunghezze di sei archi. Ogni arco ha un’apertura angolare di 60° (π/3 radianti). La lunghezza di un archetto è Larco=60°/360°⋅2πr=2πr/6=πr/3. Il perimetro totale è la somma dei sei archi: Ptriquetra=6⋅πr/3 = 2πr. Per r=1 il Perimetro è 2π.
L’area della Triquetra vista come quella di un triangolo equilatero di lato 2r ed area √3(2r)^2/4 = √3r^2 a cui si aggiungono le aree di sei segmenti circolari tutti con la stessa area data dalla differenza tra l’area del settore circolare con angolo 60° e raggio r e l’area del triangolo equilatero di raggio r data da √3r^2/4. Poiché Asettore = 60°/360°⋅π/r^2 = π/6⋅r^2, abbiamo che l’area di ognuno dei 6 segmenti circolari è data la differenza π/6⋅r^2-√3r^2/4. Quindi l’area della Triquetra è Atriquetra = √3r^2+πr^2-3√3r^2/2 = (π-√3/2)r^2, che per r=1 è Atriquetra = π-√3/2.
P2.1 L’area della vesica piscis è formata da due segmenti circolari identici. Ogni segmento è definito da una corda e da un arco di 120° (2π/3 radianti) con raggio R.
L’area di un settore circolare con angolo di 120° e raggio R è Asettore=120°/360°×π/R^2=π/3×R^2
L’area del triangolo formato dal centro del cerchio e dalle due intersezioni ha lati R, R e una base di R√3 (l’altezza del triangolo è R/2).
La sua area è Atriangolo = base×altezza/2 = (R√3)×(R/2)/2 = √3/4×R^2.
L’area di un segmento circolare è la differenza tra l’area del settore e l’area del triangolo:
Asegmento=Asettore−Atriangolo = (π/3 – √3/4)×R^2 e per R=1 l’area è π/3 – √3/4.
L’area della vesica piscis è il doppio dell’area di un segmento ovvero la somma dei due segmenti: Avesica = 2×Asegmento = 2×(π/3 – √3/4)×R^2 e per R=1 l’area è 2π/3 – √3/2.
Ben tornato Fabio coi tuoi quesiti, questa la mia risposta al primo:
P1. Il perimetro e l’area del “triangolo curvo” o, più propriamente, triangolo di Reuleaux, si possono calcolare combinando le formule del triangolo equilatero e del settore circolare. I perimetro è costituito da tre archi di cerchio. Poiché il triangolo equilatero ha tutti i lati uguali (di lunghezza L) e tutti gli angoli interni di 60° (π/3 radianti), ciascuno dei tre archi ha lunghezza Larco=L×π/3. Il perimetro totale del triangolo curvo è il triplo della lunghezza dell’arco: P=3×Larco=3×(L×π/3)=π×L.
Area del triangolo curvo = Area del triangolo equilatero + 3 * (Area del settore circolare – Area del triangolo equilatero) = 3 * Area del settore circolare – 2 * Area del triangolo equilatero.
L’area di un settore circolare di raggio r e angolo θ (in radianti) è: Asettore=r^2*θ/2.
Nel nostro caso, Asettore=L^2×(π/3)/2=π/6×L^2 e l’area del triangolo equilatero di lato L è: Atriangolo=√3/4×L^2. Area totale triangolo curvo = 3 × Area del settore circolare – 2 × Area del triangolo equilatero = 3×π/6×L^2 – 2×√3/4×L^2 = π/2×L^2 – √3/2×L^2 = (π−√3)/2×L^2.
Grazie e bentrovato. Ottimo e grafica sempre chiara e colorata. Siamo pronti per la stagione autunnale!
Problema 2
A(m.)=2*A(t.eq., l=1)+4*A(seg.c.b=1)
A(seg.c.b=1)=A(sett.c. 60°)-A(t.eq.l=1)=
=(π/6)-(√3/4)
A(m)=2*(√3/4)+4[(π/6)-(√3/4)]
A(m)=(2π/3)-(√3/2)
2p(triquetra)=6*(l. arco π/3)=2π
A(triquetra)=A(t.eq.c.)+3*A(sett.c.60°)
A(triquetra)=[(π/2)-(√3/2)]+3*(π/6)=π-(√3/2)
A(fiore)=12*A(seg.c.b.=1)=12*[(π/6)-(√3/4)]
A(fiore)=2π-3√3
A(petalo)=A(fiore)/6=(2π-3√3)/6=
=(π/3)-(√3/2)
A(petalo)=(π/3)-(√3/2)
Ottimo, nel pomeriggio le soluzioni.
1- Detto l il lato del triangolo equilatero, sarà anche l il raggio della circonferenza di centro un qualunque vertice del triangolo equilatero.
Da cui:
A(sett. 60°)=πl²/6
A(seg. circ. con b l)=(πl²/6)-(l²/4)√3
A(t.c.)=(πl²/6)+2[(πl²/6)-(l²/4)√3]
A(t.c.)=(l²/2)(π-√3)
2p(t.c.)=3*2πl/6=πl
A mandorla=2π/3-√3/2
p triquetra= 3πr
A=1/2(2π-√3)r²
Forse… 😄
Franca,
per il calcolo del perimetro forse tu hai considerato tutti i tratti evidenziati in neretto nella figura della triquetra.
Io invece ho inteso come perimetro solo il percorso esterno, quindi di lunghezza 2π (con raggio unitario 😉 )
Sono d’accordo con Vic. Oggi pomeriggio le soluzioni.
Primo quesito.
Perimetro = πL
Area = (π – 3^1/2)*L²/2
Buongiorno Fabio!
Ben ritrovato, dopo la pausa estiva 🙂
Per le soluzioni del Problema 2, uso i risultati e l’approccio seguito da Nicola Fusco.
2.1. L’area della mandorla è quattro settori circolari meno due triangoli equilateri (lato unitario):
A_m = 4*π/6-2*√3/4 = 2π/3-√3/2
2.2. Il perimetro della triquetra è semplicemente sei volte la lunghezza dell’arco; praticamente è pari alla circonferenza base:
P_tq = 6*π/3 = 2π
Per l’area della triquetra si possono usare diversi approcci, tutti equivalenti ovviamente. Dipende da come uno la “vuole vedere”. Io l’ho vista così: ho sommato sei settori circolari (sempre quelli ricavati da Nicola Fusco) e ho sottratto tre triangoli equilateri; questi sono i tre lobi, a cui aggiungere infine il triangolo centrale.
A_tq = 6*π/6-3*√3/4+1*√3/4 = π-√3/2
2.3. L’area di un petalo del fiore è uguale a due volte la differenza tra settore e triangolo equilatero:
A_p = 2*(π/6-√3/4) = π/3-√3/2
Infine l’area del Fiore della Vita è: 2π-3√3
Buongiorno Vic, grazie per i saluti che ricambio volentieri. Ottimo e interessante, io ho utilizzato metodi diversi che portano agli stessi risultati. A domani per un ulteriore confronto.
Problema 1.
P=πL;
A=(1/2)(π-√3)L^2
1. Se L è il lato del triangolo equilatero, allora πL/3 è launghezza dell’arco, e πL^2/6 è larea del settore circolare, di una circonferenza di raggio L e angolo al centro π/3.
Quindi il perimetro del triangolo curvo è 3×πL/3=πL, e l’area è 3×πL^2/6-2×√3L^2/4=(π-√3)L^2/2 (ottenuta sommando le aree di tre settori circolari e sottraendo le aree di 2 triangoli equilateri)