Le soluzioni del 12 agosto 2024 a cura di Fabio Ciuffoli
Ieri abbiamo presentato due giochi di geometria e calcolo delle probabilità e di seguito pubblichiamo le nostre proposte di soluzione.
Probabilità, cerchi e circonferenze – soluzioni
1. Qual è la probabilità di colpire a caso, all’interno di un cerchio, un punto più vicino al centro anziché alla circonferenza esterna? (I colpi fuori dal cerchio non sono conteggiati)
1. SOLUZIONE. Definendo r il raggio della circonferenza esterna, il punto colpito sarà più vicino al centro se è solo se sarà interno al cerchio di raggio r/2. L’area del cerchio grande è πr2 e l’area del cerchio piccolo è π(r/2)2 che diviene πr2/4. Il rapporto tra area piccola e area grande è quindi ¼ per cui la probabilità di colpire casualmente un punto più vicino al centro anziché alla circonferenza esterna è del 25%.
2. Prendendo due punti casuali su una circonferenza quante probabilità si hanno di avere una distanza tra di loro minore del raggio r?
2. SOLUZIONE. Indicando con p1 un punto qualsiasi sulla circonferenza, la condizione è soddisfatta se px cade sulla corda p1 px di lunghezza inferiore al raggio r. Indicando con O il centro della circonferenza, tale corda è anche il lato di un triangolo equilatero p1pxO. L’angolo con vertice in O è di 60 gradi e la condizione sarà soddisfatta se px cade a destra o a sinistra di p1, quindi la probabilità è 60×2/360=1/3 ossia il 33,33%.
Alcuni hanno interpretato il testo, in modo impreciso, pensando che la distanza fosse sulla circonferenza e hanno considerato un arco di circonferenza anziché una corda. In questo caso il risultato sarebbe 2r/2πr che diviene 1/π uguale al 31,85%.
I Giochi del Lunedì tornano tra due settimane.