Il 5 settembre 1906 la fisica perse uno dei suoi pensatori più audaci e rivoluzionari: Ludwig Boltzmann. Fu l’uomo che trasformò l’atomo da mera ipotesi filosofica a pilastro della scienza moderna, influenzando in profondità Planck, Einstein e l’intera fisica del Novecento.
Ludwig Boltzmann (1844–1906) è una figura centrale della fisica moderna. Il suo lavoro ha dato alla teoria atomica della materia una solida base matematica e concettuale, trasformando la termodinamica da disciplina puramente descrittiva e fenomenologica a scienza fondata su modelli microscopici. La sua celebre equazione dell’entropia, segnò una svolta decisiva: grazie ad essa, la fisica poté adottare il calcolo delle probabilità come strumento essenziale per comprendere e descrivere i sistemi complessi.
Nato a Vienna nel 1844 da un impiegato delle imposte e dalla figlia di un ricco mercante, Boltzmann studiò al ginnasio di Linz e si iscrisse a fisica all’Università di Vienna. Nel 1866 ottenne il dottorato con una tesi sull’interpretazione meccanico-statistica del secondo principio della termodinamica, diventando l’anno seguente assistente di Josef Stefan. Iniziò così una brillante carriera accademica: docente a Graz nel 1869, professore di matematica a Vienna nel 1873, cattedratico a Monaco di Baviera nel 1890 e infine titolare della prestigiosa cattedra di fisica teorica a Vienna nel 1893.
Boltzmann e colleghi a Graz nel1887: (in piedi, da sinistra) Nernst, Streinz, Arrhenius e Hiecke; (seduti, da sinistra) Aulinger, Ettingshausen, Boltzmann, Klemenčič e Hausmanninger
Boltzmann non fu solo uno scienziato geniale: fu tra i primi a cogliere l’importanza delle equazioni di Maxwell sull’elettromagnetismo, riproducendo personalmente gli esperimenti di Hertz sulle onde elettromagnetiche.
Era anche un docente carismatico e travolgente. Le sue lezioni, chiare, brillanti e ricche di aneddoti, spesso tenute senza appunti grazie a una memoria eccezionale, infondevano nei suoi studenti (tra cui la giovane Lise Meitner) una passione indelebile. Fuori dall’aula era un uomo dalla cultura vasta e vivace: pianista eccellente e scrittore brillante e ironico. Nel suo divertente libretto Viaggio di un professore tedesco all’Eldorado, dove raccontò la sua esperienza negli Stati Uniti nel 1905, elogiò la democrazia americana ma criticò con arguzia il puritanesimo dell’epoca, scherzando sul fatto che gli americani “nascondevano il vino come gli studenti nascondono i sigari”.
A differenza di molti contemporanei, Boltzmann aveva una visione dell’educazione profondamente moderna, soprattutto riguardo ai diritti delle donne. Molto prima che le università austriache ammettessero ufficialmente le studentesse, si impegnò personalmente per l’uguaglianza di genere nell’istruzione. Nel 1872, a Graz, conobbe Henriette von Aigentler, giovane e brillante aspirante insegnante di matematica e fisica. Quando le fu negato persino il permesso di assistere alle lezioni come uditrice, Boltzmann la esortò a non arrendersi: anche se non poté laurearsi, Henriette riuscì a frequentare l’Università di Graz come uditrice straordinaria e, nel 1874, superò gli esami di abilitazione all’insegnamento superiore. I due si sposarono nel 1876 e condivisero una vita di profonda intesa intellettuale e familiare, con cinque figli: tre femmine e due maschi.
Per comprendere la grandezza della rivoluzione di Boltzmann, occorre fare un passo indietro. Agli inizi dell’Ottocento, quando cominciarono a manifestarsi i primi sintomi di una crisi nell’interpretazione classica del mondo. La meccanica newtoniana descriveva un universo ideale, “senza attrito”, dove le equazioni erano perfettamente reversibili nel tempo: un pendolo ideale oscilla all’infinito e le leggi del moto funzionano esattamente allo stesso modo sia che il tempo scorra in avanti, sia che scorra all’indietro. Ma quando la scienza iniziò a studiare il calore, ci si accorse che il mondo reale non obbediva a questa simmetria. Se scaldiamo un estremo di una sbarra di metallo, il calore si propaga in modo irreversibile dall’estremità calda a quella fredda fino al raggiungimento di un equilibrio. Il calore non “oscilla” indietro. Il sistema perde rapidamente memoria delle sue condizioni iniziali per dirigersi verso uno stato di equilibrio dal quale non torna più indietro spontaneamente.
Quindi la domanda cruciale era che cosa fosse davvero il calore e da qui faceva la sua comparsa il problema della “freccia del tempo” e dell’irreversibilità.
A lungo il calore venne considerato un fluido invisibile e privo di peso, detto calorico. Questa idea fu messa in crisi da Benjamin Thompson, figura eccentrica e brillante della fine del Settecento. Durante la perforazione dei cannoni in Baviera, osservò che una punta smussata, continuando a ruotare nel metallo, generava calore in quantità apparentemente inesauribile. Se il calore fosse stato una sostanza contenuta nel metallo, prima o poi si sarebbe esaurito. Thompson concluse quindi che il calorico non esisteva: il calore non era una sostanza. Da quel momento lo studio del calore progredì rapidamente e gettò le basi della termodinamica. Il primo principio, formulato nel 1847 da Hermann von Helmholtz, afferma che l’energia totale di un sistema isolato resta costante: non si crea né si distrugge, ma si trasforma. Il secondo principio, introdotto da Rudolf Clausius, stabilisce invece che l’energia, pur conservandosi, tende a degradarsi.
Clausius quantificò questa degradazione introducendo il concetto di Entropia (S), definito come il rapporto tra la quantità di calore scambiata da una sorgente e la sua temperatura. Nel linguaggio dei postulati, mentre il primo principio afferma che esiste qualcosa che si conserva, il secondo stabilisce che esiste una grandezza che, in un sistema isolato, resta costante durante una trasformazione reversibile e aumenta sempre durante una trasformazione irreversibile. Dato che le trasformazioni reali sono sempre irreversibili, ogni trasformazione che avvenga in un sistema isolato ne farà aumentare l’entropia che non può crescere indefinitamente, quindi ogni sistema è caratterizzato dall’avere uno stato a cui corrisponde il valore massimo dell’entropia: lo stato di equilibrio termodinamico.
Ogni trasformazione fa avanzare di un passo il sistema verso questa situazione di equilibrio, e quando il sistema la raggiunge non avvengono più trasformazioni macroscopiche osservabili.
La sua rilevanza è così sottolineata dall’astrofisico inglese Sir Arthur Stanley Eddington: “La legge di crescita dell’entropia, ovvero la seconda legge della termodinamica, occupa, io penso, il posto più importante tra le leggi di natura. Se qualcuno vi fa notare che la teoria dell’universo da voi prediletta è in disaccordo con le equazioni di Maxwell, beh, tanto peggio per le equazioni di Maxwell; se si trova che è contraddetta dalle osservazioni, beh, gli sperimentali qualche volta pasticciano. Ma se la vostra teoria si trova in contraddizione con il secondo principio della termodinamica, non vi posso dare nessuna speranza: non c’è nient’altro da fare che sprofondare nella più profonda umiliazione” (citato da Gregory Bateson, Verso un’ecologia della Mente, Adelphi).
A quel punto gli scienziati dell’epoca si posero una nuova questione fondamentale: la termodinamica poteva essere ricondotta alla meccanica? E in caso affermativo come si poteva conciliare l’irreversibilità del secondo principio con la reversibilità delle leggi newtoniane?
Un primo tentativo di risposta alla prima domanda arrivò nel 1845 da John Waterston, istruttore dell’accademia navale di Bombay. In un manoscritto inviato alla Royal Society, sostenne che il calore fosse il moto caotico degli atomi, anticipando la teoria cinetica. La comunità scientifica ignorò però il suo lavoro. Dodici anni dopo, Rudolf Clausius riprese la stessa intuizione con maggiore autorevolezza, e fu il suo nome a imporsi nella storia.
Nel 1860 James Clerk Maxwell diede alla teoria una formulazione più rigorosa. Nel saggio Illustrations of the Dynamical Theory of Gases, riprese le intuizioni di Daniel Bernoulli e Newton e descrisse i gas come insiemi di particelle minuscole in continuo moto e collisione. Temperatura e pressione divennero così grandezze macroscopiche legate all’energia cinetica media delle particelle. Le leggi probabilistiche consentivano di descrivere il comportamento collettivo senza seguire ogni singola traiettoria.
La teoria cinetica offriva dunque un fondamento meccanico alla termodinamica, ma restava controversa perché l’esistenza degli atomi alla fine dell’Ottocento era ben lontana dall’essere accettata. Scienziati potentissimi e autorevoli come Ernst Mach e Wilhelm Ostwald (leader della corrente “energetista”) combattevano una battaglia serrata contro l’atomismo, giudicandolo un’astrazione metafisica non provabile. Mach chiedeva con provocatoria ironia: «Atomi? Ne avete mai visto uno?» Per Mach e Ostwald, la scienza doveva limitarsi a ciò che era direttamente osservabile.
Gli scontri scientifici furono durissimi. Nel settembre del 1895, al Congresso degli scienziati tedeschi a Lubecca, si tenne una leggendaria disputa tra Ostwald e Boltzmann. Ostwald ammetterà poi il suo errore nel 1909, dopo i lavori di Einstein sui moti browniani, mentre Mach non ritratterà mai. Ma per Boltzmann, la battaglia per difendere il modello atomico fu un impegno logorante.
Come abbiamo visto, la termodinamica classica si limitava a descrivere come i sistemi evolvessero verso l’equilibrio, senza però essere in grado di spiegarne il perché. Rispondere a questa domanda era invece il grande obiettivo della teoria cinetica, animata da un rigoroso intento riduzionista: applicare le leggi della dinamica newtoniana ai componenti elementari della materia, gli atomi, per prevedere con esattezza il comportamento dell’intero sistema macroscopico. Nell’idea originaria dei fisici, per conoscere l’evoluzione di un sistema composto da molte particelle bastava conoscere il moto e la posizione delle singole particelle che lo componevano.
Questo programma scientifico non riusciva però a rispondere alla seconda questione di come conciliare l’irreversibilità del secondo principio con la reversibilità delle leggi newtoniane. Fisici del calibro di Lord Kelvin nel 1874 e Josef Loschmidt nel 1876 si opposero aspramente all’impostazione di Boltzmann, sostenendo che fosse una contraddizione logica pretendere di dedurre trasformazioni irreversibili a partire da leggi meccaniche del tutto simmetriche rispetto al tempo. Se le basi erano reversibili, come poteva la somma di tali eventi generare un’irreversibilità assoluta?
Se nei suoi primi scritti del 1866 Boltzmann aveva cercato di ridurre il Secondo Principio a un puro teorema di meccanica deterministica, comprese presto che i suoi critici avevano toccato un punto scoperto. Fu così che, tra il 1871 e il 1872, lo scienziato austriaco compì una vera e propria rivoluzione epistemologica: abbandonò il determinismo meccanico per abbracciare definitivamente il calcolo delle probabilità.
Per superare l’impasse, Boltzmann introdusse la fondamentale distinzione tra microstato (l’esatta configurazione microscopica di posizioni e velocità di ciascuna molecola) e macrostato (la condizione globale percepibile dall’esterno, come la temperatura o la pressione di un gas). La chiave di tutto risiedeva nel fatto che un singolo macrostato può essere realizzato da un numero enorme di microstati differenti.
Immaginiamo, a titolo di esempio, un volume diviso in due metà contenente 100 particelle. Esiste un solo e unico microstato in cui tutte e 100 le particelle si trovano concentrate nella metà di sinistra. Se ora consideriamo il macrostato “99 particelle a sinistra e 1 a destra”, bisogna solo scegliere quale delle 100 particelle è quella a destra e il numero di modi diversi di scegliere 1 particella su 100 è dato 
Quindi esistono 100 microstati diversi che realizzano il macrostato “99 particelle a sinistra e 1 a destra”. Se poi ora consideriamo il macrostato perfettamente uniforme, 50 particelle per parte, ci rendiamo conto che il numero di microstati è dato da 
che è un numero dell’ordine di grandezza di 10^29 (per dare un’idea la massa terrestre espressa in g è dell’ordine di 10^27). Quindi esistono 10^29 microstati differenti che realizzano il macrostato “50 particelle a sinistra e 50 a destra”. Si capisce dunque che quando poi le particelle diventano quelle di un vero gas macroscopico, nell’ordine del Numero di Avogadro (10^23), il numero di configurazioni microscopiche che realizzano lo stato di equilibrio diventa dell’ordine di numeri letteralmente astronomici.
La risposta finale di Boltzmann al problema dell’irreversibilità fu dunque spiazzante: un sistema termodinamico non evolve verso l’equilibrio per via di una legge meccanica inderogabile, ma per una schiacciante prevalenza statistica. Il sistema “dimentica” la propria configurazione iniziale semplicemente perché la quasi totalità degli stati microscopici possibili conduce allo stesso macrostato di massimo disordine. L’irreversibilità cessava così di essere un dogma meccanico per diventare una certezza statistica: tornare spontaneamente all’ordine non era impossibile in linea di principio, ma talmente improbabile da diventare praticamente impossibile.
Un sistema evolve quindi spontaneamente dallo stato meno probabile (l’ordine) a quello infinitamente più probabile (il disordine). L’irreversibilità non è una legge meccanica assoluta, ma una certezza statistica.
Questa sproporzione vertiginosa tra i diversi modi di distribuire le particelle rivela qualcosa di più profondo: l’equilibrio termodinamico, quello stato che percepiamo come stabile e uniforme, proviene dal disordine totale dell’attività degli elementi che compongono il sistema, e dalla compensazione statistica tra questi movimenti.
È un ribaltamento concettuale potente. Per secoli abbiamo pensato all’ordine come all’oggetto privilegiato della conoscenza, ma quando si tratta di gas solo il disordine integrale è prevedibile, riproducibile e conoscibile.
Il colpo di genio finale di Boltzmann fu legare la grandezza astratta e macroscopica dell’Entropia (S) introdotta da Clausius alla quantità puramente microscopica e combinatoria W (il numero di microstati o Wahrscheinlichkeit, probabilità termodinamica):
S=k logW
dove k è la costante fondamentale che porta il suo nome (k=1,38×10^(-23) J/K).
Negli ultimi anni della sua vita, l’aggravarsi dell’asma, la progressiva perdita della vista e il doloroso peso della solitudine scientifica affrontata contro i detrattori dell’atomismo segnarono profondamente la salute mentale di Boltzmann. Il 5 settembre 1906, mentre si trovava in vacanza a Duino con la famiglia, scelse di togliersi la vita. Pochi anni dopo, la verifica sperimentale definitiva dell’esistenza degli atomi avrebbe confermato la sua totale ragione. Fu sepolto al Zentralfriedhof di Vienna. Sopra la sua tomba, scolpito nella pietra a sua gloria perenne, sta l’epigrafe con la sua formula: S=k logW.
La tomba di Ludwig Boltzmann al Zentralfriedhof di Vienna
Boltzmann rappresenta il ponte insostituibile tra la fisica classica e la fisica moderna. Dimostrando che la natura parla il linguaggio della probabilità, Boltzmann ha gettato i semi da cui germoglieranno la meccanica quantistica e la fisica dei sistemi complessi, dimostrando che la scienza avanza grazie a chi sa difendere visioni rivoluzionarie con il rigore della matematica e la profondità della filosofia.
