È opinione diffusa che le scoperte matematiche completino e approfondiscano le precedenti ma non le cancellino. È vero se pensiamo ai teoremi e ai calcoli. Non lo è, invece, se riflettiamo sulle convinzioni che i matematici sviluppano sulla propria disciplina e le sue finalità
Ci sono state rivoluzioni nella storia della matematica? Tipo la rivoluzione copernicana nella storia dell’astronomia?
Sulle rivoluzioni nella scienza Thomas Kuhn, fisico e filosofo del Novecento, ha pubblicato nel 1962 un libro di grande successo, La struttura delle rivoluzioni scientifiche, che ha venduto oltre un milione di copie in tutto il mondo. In quest’opera, Kuhn fa riferimento alla rivoluzione scientifica del periodo storico che va da Copernico a Newton, alla rivoluzione della chimica del Settecento ad opera di Lavoisier, alla rivoluzione della fisica del Novecento operata dalla relatività di Einstein. Ma non fa cenno a rivoluzioni che riguardino la matematica.
Del resto, secondo un’opinione prevalente, la matematica cresce in modo cumulativo e non sembra che le si applichi il modello di Kuhn di lunghi periodi di “scienza normale” interrotti da grandi rivoluzioni. Ciononostante, qualche decennio dopo, lo studioso inglese Donald Gillies ha raccolto in un volume, Revolutions in Mathematics, i contributi di molti studiosi alla ricerca di episodi della storia della matematica che siano interpretabili come rivoluzioni. In una rivoluzione – secondo la definizione di Kuhn – si verifica ”l’abbandono di una teoria scientifica un tempo onorata, in favore di un’altra incompatibile con essa“.
Certamente allora, se stiamo a questa definizione e pensiamo che una rivoluzione rovesci completamente una teoria precedente, non esistono rivoluzioni in matematica, perché in matematica le nuove teorie non cancellano le precedenti ma coesistono con esse. Tuttavia, il termine rivoluzione è usato anche nella storia civile e politica dove ci sono state rivoluzioni che hanno sovvertito completamente il vecchio ordinamento (come la Rivoluzione russa) e altre che si sono concluse con la ricomposizione delle antiche forme di potere accanto a nuove forme introdotte dai rivoluzionari (come nella Rivoluzione inglese del Seicento, conclusasi con la restaurazione della monarchia ma non del potere assoluto).
Le rivoluzioni matematiche sarebbero di questo secondo tipo e allora se ne possono fare vari esempi in senso debole, cioè di svolte che hanno aperto nuove prospettive della matematica senza distruggere la precedente: la scoperta delle grandezze incommensurabili, la creazione di nuovi sistemi numerici, lo sviluppo del calcolo infinitesimale, la scoperta delle geometrie non euclidee, la teoria dei numeri transfiniti di Cantor…
Ma nel dibattito è emersa un’altra posizione interessante (e molto citata) secondo cui la matematica sarebbe una disciplina conservatrice o rivoluzionaria a seconda del livello a cui la consideriamo. In matematica, possiamo pensare che ci sia un primo livello (o livello-oggetto) fatto di assiomi, teoremi, dimostrazioni, calcoli, problemi. Poi, un secondo livello (o meta-livello) fatto delle credenze dei matematici sulla propria disciplina, sulla sua natura e sui suoi scopi. Ebbene, la matematica può essere conservativa al livello-oggetto e rivoluzionaria, anche in senso forte, al meta-livello.
L’introduzione dei numeri negativi e dei numeri immaginari, non corrispondenti a interpretazioni fisiche immediate, non cambiò le proprietà dei numeri reali positivi, ma rovesciò le convinzioni implicite dei matematici sul concetto di numero. L’idea che la matematica fosse la scienza delle grandezze e i numeri fossero strumenti per contare e misurare fu rimpiazzata da una concezione meno ristretta che comprendeva lo studio di strutture più astratte.
E ancora: le geometrie non euclidee non hanno cancellato nessuno dei teoremi della geometria euclidea, ma hanno rovesciato convinzioni che la comunità dei matematici aveva professato per duemila anni, cioè che la geometria euclidea fosse l’unica descrizione possibile dello spazio fisico e l’unico sistema di geometria logicamente coerente. Nessuna teoria precedente fu confutata, ma cambiarono le convinzioni meta-matematiche sulla natura delle teorie.
Dunque, le rivoluzioni matematiche sono state rivoluzioni concettuali che hanno cambiato il modo di pensare dei
matematici, mentre le rivoluzioni scientifiche, da Copernico a Einstein, sono state, secondo Kuhn, “mutamenti del
la concezione del mondo”. Ma si può aggiungere che a volte anche la matematica ha mu tato la concezione del mondo, seppure in modo più indiretto rispetto alle scienze empiriche. Basta pensare al supporto decisivo fornito dalla matematica alla rivoluzione scientifica del Seicento. O ancora alla rivoluzione non euclidea dell’Ottocento, che non ha riguardato solo la storia interna della disciplina perché senza di essa la teoria della relatività generale non avrebbe potuto essere formulata.
Sono state le anticipazioni delle rivoluzioni matematiche che hanno preparato la via alle rivoluzioni scientifiche.
