Paolo Maroscia da anni si occupa dei problemi dell’insegnamento della matematica. Da tempo sostiene la validità della concezione pitagorica. “Si potrebbe riassumere in tre punti: centralità dell’aritmetica, esistenza di legami profondi tra aritmetica e geometria, visione del mondo e della vita fondata sui numeri. Perché rinunciarci?”
Dalla cattedra di geometria e algebra della “Sapienza” di Roma, da tanti anni Paolo Maroscia combatte diverse battaglie, guardando alla necessità di introdurre a scuola argomenti di matematica del Novecento e di non limitarsi comunque a fornire in forma rigida le conoscenze tradizionali. Convinto sostenitore dell’unità della cultura, ama collegare la matematica a poesia, pittura e arte.
Spesso hai invitato a non restringere le modalità di insegnamento della matematica al pur autorevole modello di Euclide, ma di allargarlo a figure fondamentali come Pitagora e Archimede. Eppure Euclide è il matematico più famoso, almeno tra i non matematici, forse ancor più di Gauss ed Eulero. Che ne pensi?
Concordo. Forse ciò è dovuto al fatto che l’opera principale di Euclide, gli Elementi, è stata imposta in Italia, dalla seconda metà dell’Ottocento, come modello unico nell’insegnamento della matematica. Ma non è stato sempre così: basta pensare alle Arti del Quadrivio di stampo pitagorico, che per circa mille anni, fino al Rinascimento, hanno costituito le basi del sistema di istruzione. Oggi rimane incomprensibile, anche di fronte agli esiti negativi dell’impostazione tradizionale, che vengano ignorati altri approcci alla matematica, che potrebbero rivelarsi più produttivi ed efficaci. Mi riferisco alla visione di Pitagora del mondo e della realtà, centrata sui numeri, e al metodo di Archimede, di carattere euristico, sperimentale. Quanto a Gauss ed Eulero, penso che per il grande pubblico siano entrambi illustri sconosciuti: basterebbe ricordare che il tricentenario della nascita di Eulero, nel 2007, è passato in Italia pressoché inosservato.
Che insegnamento può continuare a darci Euclide con i suoi Elementi oggi, nel 2025?
L’insegnamento di Euclide, centrato sul procedimento assiomatico-deduttivo, sembra destinato a restare fondamentale nello sviluppo della matematica, a livello di ricerca. Ben diverso è il discorso che riguarda l’insegnamento. A mio parere, continuare a presentare la matematica a scuola seguendo unicamente l’impostazione euclidea è addirittura dannoso, almeno fino alle prime classi delle scuole superiori. Com’è possibile sottovalutare i limiti della visione euclidea, a partire dalla netta separazione tra geometria e aritmetica, tra figure e numeri, mai considerati questi ultimi come oggetti autonomi e importanti di per sé? Ciò è ancora più grave oggi, quando viviamo completamente avvolti nei numeri.
Si può affermare che Euclide fu più un divulgatore che un creatore della matematica del suo tempo. Sei d’accordo?
Euclide ha avuto il grande merito di sistemare rigorosamente la matematica fino allora conosciuta, con una presentazione organica e unitaria. Non solo, ma è probabilmente a lui che vanno attribuiti risultati importanti quali il teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo, il teorema fondamentale dell’aritmetica, l’algoritmo per il calcolo del massimo comune divisore, l’esistenza di infiniti numeri primi. Tuttavia, la sua opera va contestualizzata e non può essere presentata agli studenti nella forma originaria! Basta pensare al Teorema di Pitagora che viene tuttora oscurato nei nostri libri di testo, dove appare semplicemente come una caratterizzazione
dei triangoli rettangoli, seguendo la trattazione sviluppata nel primo libro degli Elementi. Il fatto è che lì Euclide si era autoimposto di escludere l’uso delle proporzioni: una posizione certamente importante dal punto di vista concettuale, ma che oggi appare troppo angusta, se non addirittura dannosa, dal punto di vista didattico.
Tuttavia a Euclide si attribuiscono in genere anche due teoremi sui triangoli rettangoli.
In realtà si tratta di una attribuzione inventata, introdotta tacitamente e, soltanto in Italia, nei testi scolastici a partire dal secondo dopoguerra. Ciò probabilmente per esigenze di carattere editoriale, legate anche alla proliferazione degli esercizi, che avrebbero assunto all’interno dei libri di testo un peso crescente fino a oggi. È significativo il fatto che nei classici testi di geometria per le scuole, curati da Enriques e Amaldi, i due teoremi in questione non sono riportati.
Dunque, il primo e il secondo teorema di Euclide sono solo invenzioni?
Sì, nel senso che non compaiono tra le Proposizioni degli Elementi. Non voglio negare tuttavia che evidenzino proprietà interessanti dei triangoli rettangoli. Ma presentati ampollosamente a scuola come “Teoremi di Euclide”, essi risultano fuorvianti, oggi si direbbero fake theorems, perché sembrano avere la stessa importanza del Teorema di Pitagora. Anzi quest’ultimo viene presentato addirittura come corollario del primo teorema di Euclide!
Ma allora perché i libri di testo di matematica, credo tutti indistintamente, parlano dei teoremi di Euclide?
Forse la scelta è da attribuire soprattutto ad autori zelanti ed editori interessati, essendo sfuggita apparentemente all’attenzione degli storici e degli studiosi di didattica della matematica. Certo, il fatto che oggi questi due risultati siano così denominati soltanto in Italia (basta consultare la versione inglese di ChatGPT), dovrebbe far riflettere
un po’.
A proposito, sembra che il teorema “di Pitagora” non sia suo. Probabilmente era conosciuto molto prima.
Data la scarsità delle fonti, non credo sia possibile esprimere un parere definitivo sulla questione. E il teorema di Pitagora? Perché pensi che oggi, nel 2025, sia ancora importante conoscerlo? Tuttavia, le ricerche e gli studi effettuati nel Novecento sembrano confermare che il teorema, al meno in qualche caso particolare, era noto già prima di Pitagora, presso altre civiltà: in particolare in Mesopotamia, in Egitto, in India, in Cina.
Pitagora sta sopra Euclide, nella classifica ideale dei grandi matematici?
Non direi che “Pitagora sta sopra Euclide”, pensando a un’ipotetica hit parade di matematici. Di sicuro, Pitagora ha influenzato gli Elementi e ha avuto una visione della matematica e del mondo molto più ampia di quella di Euclide. In particolare, il pensiero pitagorico ha continuato e continua ancora a ispirare la cultura occidentale, da Platone fino a oggi. Quanto alla concezione pitagorica della matematica, essa si potrebbe riassumere in tre punti: centralità dell’aritmetica, esistenza di legami profondi tra aritmetica e geometria, visione del mondo e della vita fondata sui numeri. Perché ignorare una visione così ricca nell’ora di matematica?
E il teorema di Pitagora? Perché pensi che oggi, nel 2025, sia ancora importante conoscerlo?
Il teorema di Pitagora resta, a mio avviso, il risultato singolo più importante di tutta la matematica. Ma, per farne emergere la ricchezza e il significato profondo, oggi andrebbe presentato in modo nuovo, utilizzando il linguaggio algebrico e ampliando l’orizzonte euclideo: ossia, come un ponte tra geometria e algebra, tra triangoli e numeri. Ne segue che il problema di trovare tutti i triangoli rettangoli equivale (!) al problema di trovare tutte le terne di numeri reali positivi che verificano l’equazione pitagorica. Dunque il teorema non riguarda più solo le terne pitagoriche, ma anche i numeri reali irrazionali, già percepiti dalla scuola pitagorica. Ecco la vera novità! Per di più, un approccio di questo genere permetterebbe anche di comprendere lo stupore degli antichi egiziani davanti alle proprietà dei numeri 3, 4, 5, che forniscono le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo, chiamato appunto triangolo egizio. Ma non c’è solo questo: c’è anche il ruolo importantissimo, in genere poco esplorato, svolto dall’equazione pitagorica x2+y2=z2 nello sviluppo della matematica fino ai nostri giorni; ma qui non c’è tempo di parlarne.
