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“Dio ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera dell’uomo”, ha affermato il famoso matematico tedesco Leopold Kronecker. E una delle cose che ha fatto l’uomo con i numeri naturali è stato classificarli. La distinzione più immediata è fra numeri pari e dispari; poi vengono i numeri primi, quelli divisibili solo per 1 e per sé stessi: 2, 3, 5, 7, 11 eccetera. Al loro interno, i matematici hanno pensato bene di creare diverse catalogazioni. I numeri primi hanno una caratteristica strana: sono distribuiti lungo la successione dei numeri naturali senza una regola evidente. All’inizio sono più frequenti e poi si diradano via via, ma senza mai smettere di comparire ogni tanto: già dai tempi dei greci sappiamo che sono infiniti. A parte 2, i numeri primi sono tutti dispari: questo vuol dire che la distanza minima fra due primi è 2. Due primi la cui differenza è 2 sono detti “gemelli”, perché non potrebbero essere più vicini di così. Per esempio sono primi gemelli le coppie (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43). Interessante notare che 5 ha due gemelli: 3 e 7. Ancora più interessante sarebbe sapere se le coppie di primi gemelli sono a loro volta infinite oppure se da un certo punto in poi non se ne incontrano più. Al momento nessuno ha la risposta: è uno dei famosi problemi aperti della matematica. A parte i gemelli, la differenza minima fra due primi è 4: i numeri per i quali questo accade sono chiamati “cugini” in analogia ai gemelli, con una parentela meno stretta. È il caso di (3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71). Il passo successivo è quello dei primi che hanno come differenza 6. Stavolta i matematici hanno lasciato perdere i legami familiari e hanno adottato un termine più ambiguo e seducente. Dato che 6 in latino si dice sex, i primi che hanno per differenza 6 sono chiamati “sexy”. Sono sexy le coppie (5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), (17, 23), (23, 29), (31, 37). Come il 5 ha due gemelli, il 13 è sexy sia con il 7 sia con il 19. Altre terne di primi sexy sono (17, 23, 29) e (31, 37, 43), ma ci sono anche quaterne, come (11, 17, 23, 29), (41, 47, 53, 59), (61, 67, 73, 79), e perfino una cinquina: (5, 11, 17, 23, 29). Ancora più stravaganti risultano altre categorie di numeri primi. Sono detti “curvilinei” quelli che hanno solo cifre interamente curvilinee (cioè 0, 3, 6, 8 e 9), come 83; allo stesso modo sono “bucati” quelli le cui cifre hanno un buco (0, 4, 6, 8 e 9): per esempio 89, che è anche curvilineo. L’inventiva dei matematici sembra non conoscere limiti: sono detti “imirp” (cioè primi al contrario) i numeri primi che restano primi anche se letti al contrario: per esempio 13 e 31 o 37 e 73, oltre ovviamente ai primi palindromi come 11. Più in generale, un numero primo è “assoluto” se permutando le sue cifre in tutti i modi possibili si ottengono ancora numeri primi. Per esempio 199 è un primo assoluto perché anche 919 e 991 sono primi (e quindi sono assoluti anche loro). Qualcuno poi, ricordando che nella numerologia biblica 666 è il numero della Bestia (cioè dell’Anticristo), ha pensato bene di definire “bestiali” i numeri primi che contengono al loro interno la sequenza 666: così 700.666.007 è un numero primo palindromo (e quindi omirp) e anche bestiale. A parte i numeri primi, una proprietà che ha suggerito varie definizioni di numeri è legata ai loro divisori (cioè i numeri per cui sono divisibili: per esempio i divisori di 18 sono 1,2,3,6 e 9). Se un numero è uguale alla somma dei propri divisori si chiama “perfetto”: sono perfetti 6(=1+2+3) e 28(= 1+2+4+7+14). Come nel caso delle coppie di primi gemelli, anche dei numeri perfetti non sappiamo se sono infiniti o no. Se un numero non è perfetto, allora la somma dei suoi divisori è minore o maggiore del numero stesso. Nel primo caso, il numero è detto “deficiente” (come per i numeri sexy, la definizione fuorviante viene dal latino: deficere significa mancare). È deficiente quindi 8, perché la somma dei suoi divisori è 1+2+4=7. Se invece la somma è maggiore, il numero è detto “abbondante”: per esempio 30, perché la somma dei suoi divisori 1+2+3+5+6+10+15 è 42, che è appunto maggiore di 30. Un numero abbondante può essere “semiperfetto” se è uguale alla somma non di tutti i suoi divisori ma solo di alcuni. Così 42 è semiperfetto perché 7 + 14 + 21 = 42. Un numero abbondante che non è semiperfetto (per esempio 70) è chiamato invece “bizzarro”. Si può passare poi a confrontare i divisori di due numeri: i divisori di 220 sono 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, e la loro somma è 284; viceversa 284 è divisibile per 1, 2, 4, 71 e 142 che, sommati tra loro, danno proprio 220. Due numeri come 220 e 284, ognuno uguale alla somma dei divisori dell’altro, sono chiamati numeri “amici” (ovviamente quindi un numero è perfetto se e solo se è amico di sé stesso). Piccola variante: se dal novero dei divisori si esclude l’1, allora i numeri da amici diventano “fidanzati”. È il caso di 48(=3+5+15+ 25) e 75(=2+3+4+6+8+12+16+24). E se un numero non ha amici né fidanzati? Semplice, è un “solitario”. Il criterio che definisce i numeri amici si può generalizzare, considerando insiemi di numeri in cui la somma dei divisori del primo è uguale al secondo, quella del secondo è uguale al terzo e così via, finché la somma dei divisori dell’ultimo è uguale al primo e il circolo si chiude: i numeri che soddisfano questa proprietà sono i numeri “socievoli”. Non sono facili da scovare: i primi li scoprì nel 1918 il matematico belga Paul Poulet (12.496, 14.288, 15.472, 14.536 e 14.264). I numeri che non sono pari alla somma dei divisori di nessun altro numero sono chiamati “intoccabili”: quindi un numero intoccabile non è perfetto, non ha amici e non è socievole, anzi è sempre solitario (coerentemente con il suo nome). Un’ulteriore variante è quella dei numeri “curiosi”: quelli uguali alla somma dei fattoriali delle loro cifre (il fattoriale di un numero, indicato con un punto esclamativo, è il prodotto dei numeri interi positivi minori o uguali a quelnumero:4!=4×3×2×1 = 24). Perciò un numero curioso è 145=1!+4!+5!=1+24+120. Curiosamente (è proprio il caso di dirlo!) esiste un’altra definizione, del tutto indipendente, di numero “curioso”: un numero che, elevato al quadrato, termina con le cifre del numero stesso. Per esempio 62=36 e 252=625. Rimanendo nell’ambito delle potenze, si può pensare, dato un numero, a elevare al quadrato le sue cifre e poi sommarle. Per esempio, partendo da 23 si trova 22+32=4+9=13.Ripetendoil procedimento con il numero ottenuto, si trova 12 +32 =1+9=10. E ancora:12 +02 =1+0=1. Se a un certo punto (come in questo caso) si arriva a 1, il numero di partenza è detto “felice”. È detto invece “narcisista” un numero di n cifre uguale alla somma delle sue cifre elevate alla n. Per esempio 371 è narcisista, perché 33 +73 +13 =27+343+1= 371 (in questo caso la potenza è 3 perché 371 ha 3 cifre). Se i narcisisti tendono a concentrarsi su sé stessi e a ignorare gli altri, cosa potranno fare i parassiti? Nel caso dei numeri, i “parassiti” sono quelli che, moltiplicati per la loro ultima cifra, danno come risultato un numero che ha quella cifra al primo posto seguita nell’ordine da tutte le altre cifre del numero di partenza. Per esempio 1.014.492.753.623.188.405.797, moltiplicato per 7, dà appunto 7.101.449.275.362.318.840.579. Simile l’ambito semantico, ma completamente diverso in matematica è il caso dei vampiri: un numero è “vampiro” se è il prodotto di due numeri composti dalle sue cifre. Per esempio 1260 è un vampiro, perché 21 × 60 = 1260. La fantasia sfrenata dei matematici – contrariamente ai luoghi comuni che li raffigurano freddi e aridi – sembra non conoscere limiti e la lista potrebbe continuare con i numeri affamati, armonici, carini, cattivi, economici, fortunati, frugali, fusibili, normali, odiosi, oblunghi, potenti, stravaganti…
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Una risposta
Euclide, nel 300 a.C. ha affermato e dimostrato che i numeri primi sono più di quanti se ne possano immaginare e la sua dimostrazione si si basa sul fatto che, se esistesse un numero finito di numeri primi, il prodotto di primi noti sommato ad 1 (2n+1), non implicherebbe l’esistenza di altri numeri primi ed ha, affermato che il risultato di un prodotto di numeri primi è divisibile dai numeri primi che l’ha generato.
Gauss con il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica, ha dimostrato che ogni numero intero maggiore di 1, è un numero primo od un numero composto e si può scrivere come prodotto di numeri primi, ma, quando era ragazzo, ha risolto un problema avendo intuito che il numero pari 100 è la somma di due numeri equidistanti dalla sua metà ed ha ottenuto il risultato richiesto elaborando un numero dispari come 100+1=2n+1 uguale a (101-2n≥1)+(1+2n≥1). Gauss ha dimostrato che tutti i numeri maggiore di 1, sono il prodotto di numeri primi, ma ha definito il suo 100+1 come, 2000 anni prima, Euclide con 2n+1 definisce e uno dei numeri dispari; il 101 come tutti i dispari diventano la somma di un numero pari (2n-2n≥1) più un numero dispari (1+2n≥1).
La combinatoria di numeri primi: Euclide ed altri matematici hanno dimostrato che i numeri primi sono infiniti e, non potendo affermare quanti sono tutti i numeri primi e quanto tempo e quanto spazio occorre per conoscere il loro valore, per soddisfare la congettura di Goldbach, non sarà mai possibile elaborare tutte le possibili combinazioni ed i valori che si possono ottenere sommando due o tre tra gli infiniti numeri primi ma è possibile conoscere tutte le possibili combinazioni ed i valori che si possono ottenere sommando due o tre tra i numeri primi, noti, che sono minori od uguali a 2n+1.
In un numero pari tutti i numeri pari e tutti i numeri dispari ≥ ½ 2n sono equidistanti, dalla metà di 2n, con numeri pari e numeri dispari ≤ ½ 2n; in un numero pari 2n sono numeri primi i numeri che non sono multipli dei primi ≤ alla radice quadra del numero pari dato; tutti i numeri primi fattori di n che sono minori di ½ 2n sono equidistanti, dalla metà del numero pari. Numeri primi ≥ ½ 2n sono equidistanti, dalla metà del numero pari, con numeri primi ≤ ½ 2n. Non potrà esserci un numero finito di combinazioni di numeri primi ≥ ½ 2n equidistanti con numeri primi ≤ ½ 2n perchè sarebbero tutti fattori di 2n e non esisterebbe un nuovo numero primo nel doppio di n.
Con i tre primi considerati da Euclide, il 2, il 3 ed il 5, e rappresentati sopra con 2n+1, si ottiene 31 con le coppie di un numero pari più un numero primo noto e sono 2+29, 28+3 e 26+5 ma tra il più gande dei fattori ed il numero generato, (tra il 5 ed il 31), ci sono nuovi numeri primi che sommati ad un numero pari generano 31 e sono: 24+7; 20+11; 18+13; 14+17; 12+19, 8+23; il 2+29. Tra un numero primo ≤ 2*3*5+1 ed il suo primo precedente la distanza è ≥ 2 infatti: tra il 31 e 29, tra il 19 e 17, tra il 13 e 11, tra il 7 e 5, tra il 5 e 3 la distanza è 2; tra l’11 e 7, tra il 17 e 13, tra il 23 e 19 la distanza è 4; tra il 29 e 23 la distanza è 6, la differenza/distanza è tra numeri primi è 2*n≥1.
Il 31, generato da Euclide con 2*3*5+1, è un numero primo e questo come tutti i numeri primi maggiori di 5, smentiscono l’esistenza di un numero finito di numeri primi. Il 31 che è la somma di un numero pari (2n) con l’1 e che è anche la somma di un numero pari (2n-2*n≥1) con un numero primo ≥ (1+2*n≥1). La differenza fra un numero dispari (2n+1) ed un numero primo (≥3) sarà sempre un numero pari 2n che è la somma di due numeri che sono equidistanti da ½ della loro somma ((n ≤ ½ 2n + n ≥ ½ 2n) = 2n). Il numero primo 31 ed il numero primo 29 formano una coppia di primi gemelli, la loro differenza è 2 e, tutte le coppie di primi gemelli, ≤ 2n+1, sono equidistanti da altre coppie di primi gemelli minori;
Euclide 2300 anni fa, ha dimostrato che i numeri primi sono infiniti con 2n+1 ed ha affermato e Gauss, 2000 anni dopo l’ha dimostrato, che tutti i numeri maggiori di 1 sono primi o composti e sono il prodotto di numeri primi. Euclide ha dimostrato che tutti i numeri dispari che sono il risultato della somma di un numero pari 2n più 1, sono anche uguali alla somma di un numero pari (2n-2*n≥1) più un numero primo (1+2*n≥1). Un numero pari è la somma di due numeri primi in esso contenuti e che sono equidistanti dalla metà di 2n. Non si può ottenere la combinatoria degli infiniti numeri primi ma si può ottenere la combinatoria dei primi noti in un numero pari.
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