La parte e il tutto

In un insieme A con un numero finito n di elementi, ogni sottoinsieme B è un insieme con un numero finito k di elementi e si ha k≤n (l’uguaglianza vale quando B coincide con A). Questo implica fra l’altro che non è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca (o, detto altrimenti, una corrispondenza “1 a 1”) fra l’insieme A e il suo sottoinsieme B. O, come si suol dire, che la parte è più piccola del tutto.

Nell’insieme C dei numeri minori di 100, l’insieme D = {0; 12; 26; 64; 100} è più piccolo dell’insieme C: la parte D è più piccola del “tutto” C.

Questo non succede se l’insieme A contiene infiniti elementi: esistono “parti” che possono essere messe in corrispondenza 1 a 1 con il tutto, vale a dire esistono parti che non sono più piccole del tutto.

Per esempio, l’insieme N dei numeri naturali e il suo sottoinsieme P dei numeri pari possono essere messi in corrispondenza biunivoca: ad ogni numero naturale n associamo il suo doppio 2: a 0 associamo 0, a 1 associamo 2, …, a 1003 associamo 2006 e così via. Viceversa, a ogni numero pari 2n possiamo associare la sua metà: a 0 associamo 0, a 2 associamo 1, …, a 100 associamo 50, …, a 2500 associamo 1250 e così via.

La parte non è più piccola del tutto. Se si “contano” gli elementi attraverso una corrispondenza 1 a 1, possiamo dire che una parte ha “tanti elementi quanti” il tutto.

E ancora, l’insieme N dei numeri naturali può essere messo in corrispondenza biunivoca anche con il sottoinsieme dei numeri dispari, dei numeri quadrati, dei multipli di 3… come?