Non prendiamo un granchio con la matematica

Sbatti il mostro in prima pagina, così recitava il titolo di un vecchio film e in questo ultimo periodo il mostro in questione è il granchio blu, flagello dei mari nostrani che con le lunghe e forzute chele riesce a distruggere e divorare intere coltivazioni di vongole, cozze e ostriche. Insomma, il predatore ceruleo mette a rischio il condimento di zuppe e spaghetti e spaventa i pescatori che vedono sfumare il frutto del loro lavoro.

Ma se affrontiamo la situazione dal punto di vista matematico, questa è meno grave del previsto e non perché i matematici non mangiano i frutti di mare, ma perché sanno risolvere i problemi e in questo contesto lo hanno già risolto!

Bisogna ricorrere ai modelli di dinamica delle popolazioni che descrivono, tramite sistemi di equazioni differenziali, l’evoluzione temporale di processi macroscopici e che possono essere applicati allo studio in campo biologico, ecologico e sociologico. Per rispondere (e tranquillizzarci) all’emergenza ittica, facciamo un balzo indietro di quasi 100 anni, più precisamente al 1925 quando il matematico Vito Volterra, interrogato dal direttore dei servizi della pesca di Ancona e suo futuro genero Umberto D’Ancona sulla possibilità di trovare qualche metodo matematico per studiare le variazioni della composizione della popolazione marina dell’Adriatico, inizia le sue ricerche su questo tema. Nel 1931, con la pubblicazione delle Lezioni sulla teoria matematica della lotta per la vita, presenta il modello “preda-predatore” che, nella sua forma più semplice, può essere così illustrato: si considerano due sole popolazioni che vivono nello stesso ambiente, chiameremo predatore la prima specie che, per sopravvivere, deve cibarsi dell’altra (la preda) e si assume l’ipotesi che non ci siano interventi dall’esterno. Sia x=x(t) il numero delle prede al tempo t (è una funzione che varia nel tempo), se questa specie vivesse da sola o coesistesse con le altre specie senza alcuna mutua influenza, diretta o indiretta, la variazione nel tempo del numero della popolazione, data dal numero di nascite e di morti, risulterebbe proporzionale al numero totale di individui esistenti in quell’istante, cioè: x′=ax, dove la derivata indica la variazione della popolazione e a il coefficiente di proporzionalità che riassume i tassi di mortalità e natalità. Questa equazione differenziale (si chiama così perché interviene la derivata) è risolvibile e se ne deduce che la popolazione avrebbe una evoluzione esponenziale. La presenza dei predatori modifica questa legge in quanto il tasso di crescita dipende anche dal numero di interazioni tra prede e predatori che Volterra indica con il prodotto xy. Si ottiene così l’equazione x′=ax−bxy con a, b coefficienti positivi e il segno meno davanti al termine xy è dovuto al fatto che le interazioni con i predatori fanno diminuire il numero delle prede. Analoghe considerazioni valgono riguardo alla popolazione dei predatori y=y(t). In questo caso si ottiene l’equazione y′=−cy+dxy, con c e d positivi: in particolare il segno meno davanti al termine y indica che senza prede la popolazione dei predatori decresce e il segno più davanti al termine xy indica che le interazioni con le prede incrementa il numero di predatori. Dalla risoluzione del sistema composto dalle due equazioni, Volterra scopre che entrambe le popolazioni presentano un comportamento oscillatorio periodico: se a un certo istante ci sono poche prede, per scarsità di cibo diminuirà anche il numero dei predatori poi questa “assenza” di predatori comporterà un aumento delle prede che a sua volta porterà a un incremento dei predatori visto il lauto banchetto a disposizione, ricominciando così il ciclo.

Ma Volterra fa qualcosa in più: introduce nelle equazioni differenziali del sistema gli effetti della pesca. Questa modifica ha come conseguenza una diminuzione delle due popolazioni e quindi le equazioni diventano x′=ax−bxy−εx e y′=−cy+dxy−εy, dove la costante ε riflette l’intensità della pesca. La soluzione del sistema “aggiornato” mostra che un incremento nell’attività della pesca porta a una crescita nella popolazione delle prede e a una decrescita in quella dei predatori.

Quindi niente paura per i nostri frutti di mare preferiti: non sono destinati a scomparire e la pronta azione dei pescatori dimostra che siamo sulla buona strada per creare un ambiente marino dove una nuova specie predatoria può convivere con le sue vittime e, secondo le ultime notizie, arricchire le nostre tavole con un nuovo crostaceo da degustare.