Quella di Riemann rimane una congettura

Un lampo ha squarciato il cielo del mondo matematico quando lo scorso novembre un comunicato stampa della Sissa (Scuola internazionale superiore studi avanzati) di Trieste, ripreso dall’Ansa e dagli altri organi di informazione, ha annunciato che la congettura di Riemann era stata “svelata dalla fisica”. Una notizia che ha subito suscitato scalpore, visto che l’enigma tormenta le menti dei più grandi matematici da più di 150 anni e la sua soluzione donerebbe fama eterna e l’assegnazione del premio di 1.000.000 dollari promesso dal Clay Mathematics Institute per aver risolto uno dei “problemi del millennio”. Gli autori del lavoro che è alla base della clamorosa notizia, pubblicato sul Journal of Statistical Mechanics, sono i fisici Giuseppe Mussardo della Sissa e André Leclair della Cornell University che attraverso una possente analisi statistica, che li ha impegnati per circa tre anni, hanno fornito una nuova chiave di lettura del dilemma. Ma perché due fisici si sono interessati al problema più matematico che esiste? È lo stesso Mussardo che lo spiega: “C’è una relazione molto stretta tra teoria dei numeri e fisica, statistica e quantistica. In molti lavori di carattere fisico ho ritrovato analogie con le distribuzioni dei numeri primi”. Cerchiamo di inquadrare il problema. Le nostre vite sono circondate dai numeri: quelli impressi sul quadrante dell’orologio, quelli che indicano il mezzo pubblico da prendere e quelli che, purtroppo, da quasi due anni ci indicano le vittime della pandemia. I numeri ci aiutano a ordinare e interpretare la realtà, sono essenziali nella nostra vita. Ma tra tutti i numeri ce ne sono alcuni che godono di uno status privilegiato: i numeri primi. Sono numeri interi divisibili solo per se stessi e per 1 e rappresentano gli “atomi” della matematica: ogni numero o è lui stesso primo oppure può essere scritto come prodotto di numeri primi e, viceversa, i prodotti tra numeri primi generano tutti quanti i numeri interi. Sin dalla loro scoperta ai tempi dei greci, i matematici hanno compilato tavole che elencavano questi speciali numeri, pensando, prima o poi, di arrivare all’ultimo e di completare così la tabella dei numeri primi. Ma nel 300 a.C. Euclide dimostrò che questo lavoro non avrebbe avuto fine, perché i numeri primi sono infiniti! La prova fornita da Euclide è tanto semplice quanto geniale: supponiamo che esista un insieme finito di numeri primi che genera tutti gli altri numeri. Se moltiplicassimo tra loro questi numeri e sommassimo 1 al prodotto ottenuto, si avrebbe un numero che non è divisibile per nessuno dei primi considerati. Quindi, esso stesso sarebbe primo oppure dobbiamo assumere l’esistenza di un nuovo numero primo da aggiungere al nostro elenco. Ma a questo punto possiamo ripetere il ragionamento un numero infinito di volte e ogni volta ci troviamo ad aggiungere un nuovo primo al gruppo iniziale. Euclide dimostra quindi che l’insieme dei numeri primi è infinito.
Una volta stabilito che sono infiniti, rimane il problema di stabilire come trovarli in maniera diretta senza doverli contare uno a uno. È facile osservare che se cominciamo a scriverli (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, … ), i numeri primi appaiono disposti in un ordine del tutto casuale: alcuni più vicini fra loro, altri più distanziati, anche se si osserva che, mentre la loro frequenza iniziale è piuttosto alta, poi quando si va avanti nell’elencazione, tende a decrescere. La domanda è quindi: esiste una formula che ci consente di dare loro ordine e stabilirne la successione in maniera ordinata? Molti sono i matematici che l’hanno cercata, ma nessuno ci è riuscito. I numeri primi appaiono come stelle nel firmamento dei numeri: alcune molto vicine, altre distantissime. Dopo Euclide, dobbiamo aspettare circa 2.000 anni per incontrare il primo matematico che fornisce un contributo essenziale per rispondere a questa domanda. Siamo a Gottinga, in Germania, e il personaggio in questione è Carl Friedrich Gauss (1777- 1855), soprannominato il principe dei matematici. Affascinato dai numeri sin da bambino e non trovando alcun ordine nella tavola dei numeri primi, decide di contare quanti sono tra 1 e 10, poi tra 1 e 100 e infine tra 1 e 1.000. Si accorge subito che la loro frequenza tende a diminuire ma che forse c’è un modo per stabilire l’ordine con cui decresce la densità della loro distribuzione. Si propone di calcolare la probabilità di incontrare un numero primo considerando i primi 100, 1.000, 10.000, ecc. numeri interi e osserva così una straordinaria regolarità: ogni volta che aggiunge uno zero, ovvero moltiplica per 10, la frequenza dei numeri primi decresce in maniera costante circa di due. È il logaritmo l’operazione matematica che trasforma un prodotto in una somma e Gauss ipotizza così un comportamento di tipo logaritmico della frequenza dei numeri primi. Nasce la congettura di Gauss che porta a un primo calcolo approssimato (attraverso i logaritmi) di quanti sono i numeri primi minori di un certo numero intero N, qualunque sia N. Diventerà il cosiddetto teorema dei numeri primi quando verrà dimostrato un secolo dopo. Nonostante questa scoperta, il mistero resta intatto e la storia continua. Lo sfondo rimane quello della piccola cittadina universitaria di Gottinga e il protagonista è adesso un giovane matematico di nome Bernhard Riemann. Nato nel 1826 nella Bassa Sassonia da una famiglia di umili origini, Bernhard è un bambino timido e riservato ma con uno straordinario talento per la matematica, tanto che il suo istruttore gli consente libero accesso alla sua biblioteca personale. Il giovane esplora il mondo dei numeri, leggendo i libri di Gauss e del matematico francese Adrien Marie Legendre, tra i quali la Théorie des nombres, il primo libro a esporre un possibile collegamento tra i numeri primi e la funzione logaritmica. Nel 1846, si iscrive all’università di Gottinga e l’anno successivo si trasferisce a Berlino, dove entra in contatto con alcuni tra i matematici tedeschi più in vista dell’epoca come Jacobi e Dirichlet. Il clima scientifico tedesco dell’epoca è assai vivace, nuove teorie stanno invadendo molti ambiti della matematica e Riemann ne rimane profondamente influenzato. Ritornato a Gottinga, si laurea nel 1851 presentando una nuova teoria sulle funzioni di variabile complessa. Notevoli saranno i suoi contributi nel campo della geometria e dell’analisi matematica, che proprio in quegli anni era in fase di rifondazione teorica, ma la sua attenzione e suoi studi continueranno a rivolgersi alla teoria dei numeri primi. Riemann raccoglie il testimone di Gauss con una scoperta straordinaria. Siamo nel 1859 e Riemann sta lavorando sulla funzione zeta z, una particolare funzione che, fissato un certo valore x reale o complesso, “calcola” la serie armonica generalizzata di potenza x. Presto intuisce uno stretto legame tra gli zeri della funzione zeta, cioè quei valori di x per cui z(x)= 0, e la distribuzione dei numeri primi. Inoltre, indagando i primi dieci valori per cui la funzione zeta si annulla, nota che questi non sono disposti in modo casuale nel piano ma giacciono su una particolare linea retta verticale. Non può essere un caso e allora ipotizza che tutti gli zeri della funzione giacciano su quella retta: è la formulazione della celebre congettura di Riemann. Se questa si rivelasse vera, se si riuscisse a dimostrare che tutti gli zeri della funzione zeta sono allineati su quella retta, allora sarebbe possibile calcolare in modo preciso quanti sono i numeri primi minori di un valore intero N. Possiamo riassumere dicendo che se Gauss, con la sua congettura, si era fermato a una stima grossolana, Riemann affina il lavoro del maestro fornendo una misura davvero più precisa per contare i numeri primi. Il suo risultato è straordinario anche in termini di metodo: si mettono in comunicazione due aspetti apparentemente lontani tra loro, i numeri primi e gli zeri di una superficie geometrica. Riemann pubblica il suo risultato in un documento di nove pagine nel 1859. Nonostante la sua ipotesi sia rivoluzionaria, rimane molto cauto a riguardo parlando di probabilità che gli zeri si distribuiscano lungo la retta. D’altronde, non era in grado di fornire una dimostrazione. Ma la scoperta gli dona fama e notorietà tanto da fargli ottenere una cattedra proprio all’università di Gottinga, sulle orme del grande Gauss. Purtroppo, la salute di Riemann era cagionevole. Soffriva di una forma acuta di tubercolosi e negli ultimi anni della sua vita fece lunghi viaggi in Italia cercando sollievo nel mite clima mediterraneo. Ha quasi 40 anni quando muore proprio in uno di questi soggiorni a Selasca sul lago Maggiore, sepolto poi nel cimitero di Biganzolo di Verbania. Nonostante la sua produzione sia stata di enorme livello e la sua eredità scientifica abbia investito tutti gli ambiti della matematica, non sapremo mai fino a che punto si era spinto, anche perché la sua domestica, abbandonandosi a una pulizia troppo approfondita, ha buttato e bruciato molti dei suoi appunti e manoscritti.
La sfida era però stata lanciata e molti altri grandi nomi della matematica l’hanno affrontata: nel 1915 l’inglese G.H. Hardy dimostra che gli zeri della funzione zeta sono infiniti e grazie alla moderna teoria dell’informazione introdotta da Alan Turing – che aveva cercato di confutare la congettura – i moderni calcolatori riescono a ricavare miliardi di zeri della funzione zeta e tutti giacciono sulla retta predetta da Riemann. Un altro importante contributo viene fornito negli anni Settanta del secolo scorso da Hugh Montgomery, matematico a Princeton, che studiando la distribuzione degli zeri della funzione zeta nota come questa sia simile al modello energetico di interazione tra particelle, aprendo così un nuovo approccio allo studio dell’irrisolto problema.

Ogni anno, motivati anche dalle insospettabili applicazioni dei numeri primi, escono vari articoli sulla congettura di Riemann. Ultimo fra questi il lavoro di Mussardo e LeClair. Ma neanche questa volta si può brindare. Andando a leggere l’articolo, si trova che gli autori non si azzardano affatto ad annunciare la dimostrazione. “C’è stato un lost in translation. Nel titolo del comunicato inglese era riportata l’espressione unveiled, che non si traduce con dimostrato!”, ha rivelato Mussardo – fisico dai molteplici interessi culturali e divulgativi – nel corso del nostro colloquio. La fisica dei moti caotici e le leggi di probabilità che li regolano sono importanti per svelare cosa si nasconde dietro la congettura di Riemann e gli autori, giungendo a una conclusione più stringente degli esiti a cui erano arrivate precedenti ricerche ancora di tipo probabilistico, affermano: “Possiamo concludere che mentre una violazione dell’ipotesi di Riemann è, strettamente parlando, non impossibile, essa è comunque estremamente improbabile”. Il loro è stato un approccio diverso rispetto ai precedenti perché hanno studiato il problema con strumenti di carattere fisico statistico. Non sono arrivati a una dimostrazione compiuta ma il loro lavoro ha il merito di gettare una nuova luce sul lavoro di Riemann, proponendo dati, analisi e indizi pesanti sulla sua validità e mostrando come la teoria dei numeri entri nel vivo dell’analisi fisica. Inoltre, è un nuovo stimolo a tutti i matematici per tentare l’assalto definitivo.

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

Dimensione massima del file: 50MB Formati consentiti: jpg, gif, png Drop file here