Lo stallo alla messicana de “Il Buono, il Brutto e il Cattivo” spiegato dalla matematica

Tre pistoleri si affrontano nel cimitero di Sad Hill. In palio c’è la cassa piena di dollari rubata ai confederati e sepolta nella tomba di Arch Stanton. Il Biondo (il Buono) è infallibile, Tuco (il Brutto) fa centro una volta su due, Sentenza (il Cattivo) quattro volte su cinque. Chi sopravviverà?

Se facciamo visita a Santo Domingo de Silos (Spagna), troviamo ancora i resti del luogo dove Sergio Leone ha diretto una delle scene più famose della storia del cinema western e potremo immaginarci Clint Eastwood (il buono), Eli Wallach (il brutto) e Lee Van Cleef (il cattivo) sfidarsi nel famoso triello, meglio se accompagnati dalle note dell’omonima traccia di Ennio Morricone. Prima del film di Sergio Leone (1966), il triello, detto anche “stallo alla messicana”, è comparso in diversi testi e pubblicazioni a partire dal lontano 1937. Martin Gardner ne parla diverse volte e ne scrive in The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions (1961).

Il problema può essere raccontato in questo modo: tre pistoleri, il Buono, il Brutto e il Cattivo, si affrontano in un triello: si dispongono in cerchio e decidono chi spara per primo e in quale verso (orario o antiorario). Il pistolero di turno decide verso chi sparare e spara un solo colpo. Le tre probabilità di fare centro sono rispettivamente del 100, 50 e 80%. Quale dei tre pistoleri ha le maggiori probabilità di sopravvivere?
Proviamo a ragionare per… duelli. In fin dei conti l’intera vicenda può essere scomposta in tanti duelli singoli. Una volta colpito un primo pistolero, i due sopravvissuti proseguono in un duello all’ultimo sangue. La tabella seguente è semplice da calcolare: riporta la probabilità di sopravvivenza nel duello tra due pistoleri. Nella colonna di sinistra compare il primo che spara, nella riga in alto chi “viene sparato”. Ad esempio, l’1/2 (che compare nella seconda riga e nella prima colonna) ci ricorda che, se il Brutto spara contro il Buono, ha il 50% di probabilità di colpirlo. Meno immediata è la spiegazione del 5/9: se il Brutto spara contro il Cattivo ha il 50% di probabilità di colpirlo; se non lo colpisce, e poi neanche il Cattivo colpisce il Brutto, quest’ultimo ha il 50% delle probabilità residue di colpire il Cattivo e così via: la somma di questa serie è proprio uguale a 5/9.

Se scomponiamo il triello in una serie di duelli, sembra che non ci sia storia: quelle probabilità uguali a 1 nella riga del Buono ci fanno pensare che il gioco sia ethically correct: il Buono (il biondo, il bene) sconfigge il Brutto e il Cattivo (il male). Ma è davvero così?

Talvolta il triello viene presentato come un paradosso. Non lo è affatto. È solo l’ennesima dimostrazione che la matematica ci porta a conclusioni che il buon senso sembrerebbe escludere. In questo caso, il bene non vince affatto. E la sentenza va addirittura nella direzione opposta. I calcoli (probabilistici) sono semplici, ma piuttosto lunghi e noiosi, e dunque vi presento solo l’esito finale. Supponendo di scegliere casualmente la disposizione e i turni dei tre pistoleri, le probabilità di sopravvivenza sono:

Il Buono, il pistolero infallibile, ha molte meno probabilità di sopravvivenza del Cattivo, il pistolero più scarso! Le sorprese però non sono finite.
Supponiamo di poter scegliere quale dei tre pistoleri impersonare e di poter sparare per primi. Meglio di così…! Dalla nostra analisi precedente sceglieremmo certamente Tuco, il Brutto, e avremmo così quasi una possibilità su due di vincere il triello. Ma contro chi puntiamo la pistola?
Se la puntassimo contro l’infallibile Biondo, in caso di successo rimarremmo in duello contro Sentenza (il Cattivo) e la tabella dei duelli ci dice che, essendo il suo turno, avrà una probabilità di 8/9 di vincere. Se d’altro canto scegliessimo di puntare la pistola contro Sentenza e facessimo centro, toccherebbe poi al Buono: per noi sarebbe una strategia suicida. Allora, cosa facciamo? La scelta migliore è piuttosto… laterale e anch’essa a sorpresa: spariamo in aria!

In questo modo, un po’ vigliacco, il turno passa a uno dei due pistoleri migliori che, con ottima probabilità, eliminerà l’altro. Adesso toccherà a noi che abbiamo il 50% di probabilità di colpire l’ultimo ostacolo che ci separa dalla vittoria nel triello. Per chiudere, ecco la conferma che molto spesso la logica non è… di casa tra i matematici. Il mio nome è l’anagramma di BraMo logicar e, per evidenti motivi, ho convinto mia figlia a partecipare al triello messo in scena ai Giardini Pubblici di Milano, la scorsa estate, in occasione della Notte dei Ricercatori. Tornata a casa, chiedo com’è andata: “Beh, papà, facile: ho scelto il Buono, 100%. E ovviamente ho vinto!”. Ora, che la figlia sia felice di aver vinto è buona cosa ma è quell’”ovviamente” che è una nota stonata, soprattutto… ascoltando Morricone.