La dimostrazione più lunga della storia

Quasi sempre la dimostrazione di un teorema è più lunga del suo enunciato. Ma più lunga di quanto? Nei manuali universitari è per lo più questione di righe e in genere non si superano le poche pagine; negli articoli scientifici si arriva a volte a decine di pagine, raramente a centinaia. C’è però un caso estremo: quella che è stata definita la più lunga dimostrazione della storia (e in un certo senso lo è, almeno fino a oggi). L’argomento è l’insieme delle terne pitagoriche, cioè le terne di numeri interi e positivi che soddisfano l’equazione del teorema di Pitagora a²+b²=c²; quella più elementare è (3, 4, 5), visto che si ha 3²+4²=9+16=25= 5².

Il problema di cui si tratta, formulato negli anni ’80, si può esprimere in poche parole: è possibile dividere l’insieme dei numeri naturali in due parti in modo che nessuna delle due contenga una terna pitagorica?

Se ci si limita ai numeri piccoli, la risposta è facile ed è affermativa. Per esempio, se si considerano i numeri naturali da 1 a 20, le terne pitagoriche sono sei: (3, 4, 5); (5, 12, 13); (8, 15, 17); (6, 8, 10); (9, 12, 15); (12, 16, 20) e ci sono numerosi modi per suddividere i numeri da 1 a 20 in due parti nessuna delle quali contenga una terna pitagorica. Per esempio {1, 2, 3, 4, 10, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20} e {5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14}.

Ma è possibile trovare una suddivisione analoga per i numeri compresi fra 1 e k, per ogni k? È facile verificare che, se è impossibile per un dato valore di k, allora è impossibile per ogni n > k. In pratica, per dimostrare l’impossibilità per tutti i numeri naturali, basta farlo per un determinato numero k.

Nel 2016 tre matematici, Marijn Heule della University of Texas at Austin, Oliver Kullmann della Swansea University e Victor Marek della University of Kentucky, hanno pubblicato una dimostrazione del teorema con k = 7825. L’enunciato è brevissimo e straordinariamente semplice, comprensibile anche a chi non ha fatto studi di matematica: «L’insieme {1, 2, 3, …, 7824} si può dividere in due parti tali che nessuna delle due contenga una terna pitagorica. Questo però è impossibile per l’insieme {1, 2, 3, …, 7825}» (e quindi è impossibile per ogni n > 7825).

La dimostrazione invece è incommensurabilmente più lunga ed elaborata: è stata ottenuta al computer e occupa uno spazio di ben 200 terabyte. Se fosse stampata su carta, riempirebbe centinaia di milioni di libri di medie dimensioni. Qualcuno si è divertito a calcolare che sarebbe pari a circa 67 milioni di volte il romanzo-fiume Guerra e pace.

Il record di lunghezza non è il solo aspetto notevole della dimostrazione. Una volta risolto il problema, si aprono infatti altre questioni. Innanzitutto: che cosa ha di speciale il numero 7825? Non si sa.
E poi: la teoria dei numeri ha spesso a che fare con numeri enormemente superiori a questo ed è quindi sorprendente che serva una dimostrazione così lunga per un problema legato a un numero così piccolo. Davvero strano. E soprattutto: siamo sicuri che la dimostrazione sia corretta? Sì, è stata controllata da altri supercomputer, che hanno impiegato complessivamente 16.000 ore (quasi due anni) a verificarla.
Per un essere umano è un’impresa impensabile: se anche riuscisse a leggere un tomo di matematica lungo come Guerra e pace in un mese, per questa dimostrazione gli servirebbero più di 5 milioni di anni. Questo pone un interrogativo importante dal punto di vista della filosofia della scienza: che cos’è una dimostrazione? L’uso dei computer nella matematica pura è una prassi almeno dagli anni Settanta del secolo scorso, ma questo è un caso limite: ha mostrato (sarebbe forse il caso di dire… dimostrato) una volta per tutte che una dimostrazione può essere riconosciuta valida dalla comunità dei matematici anche se nessuno è in grado di verificarla. Forse è una delle più grandi rivoluzioni nella storia della matematica.