L’equilibrio alla prova del gioco

In Orgoglio e Pregiudizio, romanzo in cui la straordinaria abilità narrativa di Jane Austen raggiunge vette eccezionali, si snodano vicende amorose piuttosto complesse. Tra i personaggi femminili principali si distinguono le tre sorelle Bennett: Janet, Elizabeth e Lydia, nonché Caroline e Charlotte. Tra gli uomini spiccano il Signor Bingley, Darcy, George e il Signor Collins. Le vicende amorose si intrecciano. Semplificando un po’, dal racconto possiamo dedurre che Bingley preferisce Jane, Darcy ha nel cuore Elizabeth, Collins sembra avere idee più confuse: si dichiara prima a Jane poi a Elizabeth, poi nell’ordine gli piacciono anche Charlotte e (ma un po’ meno) Caroline. George, infine, ha una storia molto complicata ma sembra interessato a una delle sorelle Bennet. Per quel che riguarda le donne, invece, la situazione è più o meno la seguente: Jane vede solo Bingley, Elisabeth è molto decisa: o sposa Darcy o rimane single. Caroline la pensa come Elizabeth. Charlotte, invece, è molto poco selettiva: le va bene chiunque, pur di non rimanere sola. Lydia è una ragazza troppo volubile e viziata, sembra comunque avere un debole per George. Ma perché mai la teoria dei giochi si può interessare a Jane Austen e alle sue storie? Perché nei suoi romanzi la Austen ci racconta complesse interazioni tra persone ed è proprio questo che vuol fare la teoria: studiare le interazioni tra agenti. In questo contesto, si parla di teoria di matching (dove matching sta per accoppiamento; formazione di coppie). Ovviamente, la teoria non si limita a spiegare come evolvono le vicende amorose ma si applica in moltissime situazioni di tipo economico, tanto che nel 2012 il premio Nobel per l’Economia è stato assegnato a L. Shapley e A. Roth per i loro fondamentali contributi in questa area. Cerchiamo ora di capire le caratteristiche di queste problematiche partendo appunto dall’esempio di un gruppo di uomini e di donne desiderosi di formare delle coppie. Facciamo per semplicità l’ipotesi che ci siano tanti uomini quante donne e che tutti preferiscano essere in coppia piuttosto che restare da soli. Quali sono i dati da cui partire? È chiaro che ogni donna ha una sua classifica di preferenze sugli uomini e viceversa. Il problema allora consiste nel trovare una maniera ottimale di formare coppie. Sorgono subito un po’ di domande. La più importante è: che cosa vuol dire formare coppie in maniera ottimale? E, una volta chiarito questo, siamo in grado di asserire che qualunque siano le classifiche degli uomini e delle donne, esiste sempre un modo ottimale per accoppiarli? E se esiste, questo modo è unico? Alla prima domanda la risposta data da Gale e Shapley è che un insieme di coppie è ottimale (in realtà si preferisce usare il termine “stabile”) se non succede che un uomo e una donna preferiscano stare assieme fra di loro piuttosto che con i partner a loro assegnati. Vediamo subito un esempio semplice, con tre donne (Anna, Beatrice e Carla) e tre uomini (Paolo, Roberto, Sandro). Ecco le tabelle con le classifiche delle loro preferenze: quella delle donne con Anna che preferisce Paolo a Roberto e a Sandro,

e quella degli uomini

Proviamo a formare le coppie:{(Anna, Roberto), (Beatrice, Paolo), (Carla, Sandro)}. È una buona idea? Proprio no, perché Carla e Roberto non sono d’accordo: preferiscono mettersi insieme piuttosto che stare con i rispettivi (Anna per Roberto, Sandro per Carla). Invece, se consideriamo le coppie {(Anna, Paolo), (Beatrice, Sandro), (Carla, Roberto)} è semplice verificare che non si possono trovare una donna e un uomo che rompono la proposta per mettersi assieme. Esiste sempre un insieme stabile, qualunque siano le classifiche? E se sì, come trovarne uno? Ecco il suggerimento dato da Gale e Shapley: “Il primo giorno, le donne si recano a casa del loro uomo preferito. Se ogni uomo ha una e una sola donna al portone di casa, il processo è finito perché si sono formate delle coppie. Se invece qualche uomo ha più di una donna di fronte, sceglie quella che preferisce e la accetta provvisoriamente. In questo caso, qualche donna viene respinta. Il secondo giorno, le donne respinte il primo giorno si recano a far visita alla loro seconda scelta; se così sono tutti in coppia, il processo è finito. Altrimenti c’è qualche uomo che ha più di una scelta, rimettendo in gioco anche la donna precedentemente accettata e sceglie quella che preferisce”.

Si continua così fino a che non si sono formate tutte le coppie. Siamo sicuri che con questo meccanismo tutti si accoppino e che si formi un insieme stabile? Sì, è proprio così. Una donna non può essere respinta da tutti gli uomini: significherebbe che un uomo resterebbe solo, il che non è possibile perché preferisce comunque stare in coppia e d’altra parte ogni uomo deve essere visitato almeno una volta, altrimenti ci sarebbe una donna da sola!

L’insieme di coppie così formate risulta stabile? Certamente! Vediamo le cose dal punto di vista delle donne: può una donna accettare di scappare con un uomo diverso da quello con cui è accoppiata? No, perché gli uomini che lei preferisce al suo sono già stati visitati da lei e dunque ne è stata respinta. Abbiamo trovato un insieme stabile. Se proviamo ad applicare la procedura al semplice esempio precedente, ecco quel che succede: il primo giorno Carla va da Roberto (che è molto contento!), Anna e Beatrice da Paolo, che accetta Anna: Beatrice viene respinta. Il secondo giorno Beatrice va da Roberto, che deve scegliere tra Carla (già precedentemente accettata) e Beatrice, e continua a tenersi Carla, che preferisce a Beatrice. Il terzo giorno Beatrice va da Sandro e le coppie sono formate: {(Anna, Paolo), (Beatrice, Sandro), (Carla, Roberto)}. Abbiamo trovato un insieme stabile. Uno solo? Di solito, così ne troviamo due! Non c’è alcuna ragione per credere che, se mandiamo gli uomini a visitare le donne, allora l’insieme di coppie rimanga lo stesso. Nell’esempio precedente, si forma lo stesso insieme stabile (e in questo caso si dimostra che non ne esistono altri), ma in generale questo non è vero: basta pensare al caso in cui Anna ha Paolo come prima scelta, Beatrice Sandro, e Roberto Carla. L’algoritmo finisce il primo giorno, con le coppie (A,P),(B,S), (R,C). Ma se le preferenze degli uomini sono Paolo Beatrice, Sandro Anna e Roberto Carla, come prime scelte, l’algoritmo degli uomini che visitano termina il primo giorno, formando coppie diverse. Ci dà fastidio che le soluzioni possano essere più di una? Soluzioni diverse in genere propongono coppie diverse. Quindi le persone hanno preferenze, in genere contrastanti, sui diversi insiemi stabili. Sorge allora il problema di stabilire se si possono classificare tutti i possibili insiemi stabili secondo le preferenze dei vari protagonisti. La risposta è positiva e molto interessante. Consideriamo un qualunque problema di matching e tutti i suoi insiemi stabili (che possono essere anche molti) e diciamo che Alberto è disponibile per Laura se esiste almeno un insieme stabile in cui Laura è in coppia con Alberto. Allora si dimostra che, mandando le donne in visita, ognuna è con la sua prima scelta tra quelli per lei disponibili. Il fatto, che può sembrare eticamente scorretto, che una donna provvisoriamente accettata sia in seguito rifiutata è il prezzo da pagare per ottenere un insieme di coppie stabile: d’altra parte uno instabile farebbe danni maggiori. In quali situazioni si possono applicare queste tecniche di matching? Questo modello è stato utilizzato per esempio per assegnare case a inquilini o per allocare in maniera stabile lavoratori in aziende. L’idea di studiare questi problemi – l’abbiamo già detto – risale a Gale e Shapley, mentre il Nobel per l’Economia è stato dato a Roth e Shapley. Probabilmente Gale lo avrebbe vinto se fosse stato in vita nel 2012. I contributi di Roth sono stati considerati fondamentali perché ha poi applicato la teoria concretamente a un problema di matching diverso ma altrettanto importante: il matching tra donatori di reni e pazienti in attesa di trapianto.

Ma questa è un’altra storia molto interessante, che vedremo un’altra volta.