La dittatura dell’indipendenza

Spesso ci sono situazioni in cui è necessario, o ci piace, fare classifiche. Ogni anno tutti i giornali parlano del Pallone d’oro o del campione del mondo di Formula Uno; tutti noi (o quasi) prima o poi ci imbattiamo in un’assemblea di condominio ove si discute della priorità da dare a certi lavori; un capo del personale deve attribuire dei premi a scalare ai suoi dipendenti; poi ci sono le elezioni, che rappresentano un momento importante nella vita di ogni Paese. C’è un filo comune che lega queste problematiche, e non è solo la voglia di litigare. È la necessità di fare una classifica tra certe cose (che chiameremo alternative), a partire da tante classifiche parziali che si hanno a disposizione. Ad esempio, in una riunione di condominio, quando si deve decidere l’ordine in cui andranno fatti certi lavori necessari, è chiaro che i condomini avranno idee diverse e l’amministratore corretto deve, a partire dalle preferenze dei condomini, stilare un ordine dei lavori il più possibile equo. In generale, il problema è: come arrivare alla classifica finale, date le classifiche iniziali? Quali criteri usare? La questione non è semplice, anche perché non esiste un unico metodo naturale per trovare la soluzione. Il tema è oggetto di studio delle scienze sociali. Siamo su un terreno ben diverso da quello, ad esempio, della fisica. Se vogliamo mandare un razzo sulla luna, cominciamo a costruirci un modello matematico, lo testiamo (magari su scala ridotta) e poi, se siamo ragionevolmente convinti che funzioni, proviamo a mandare il razzo sulla base delle informazioni che abbiamo dedotto dal modello. Ma che cosa vuol dire che un modello funziona nel contesto delle scienze sociali? Evidentemente non possiamo fare esperimenti su scala ridotta! Soprattutto, ci riesce difficile dire se un esperimento è riuscito oppure no. Allora è necessario seguire un altro approccio. Un primo metodo si basa sulla considerazione di sistemi più o meno standard, per i quali cerchiamo di capire che proprietà hanno e se queste ci interessano. Un approccio più interessante e sofisticato si basa su un ragionamento inverso: cerchiamo delle proprietà interessanti e vediamo se queste ci permettono di individuare un sistema univoco per costruire una classifica a partire da classifiche parziali date. Ecco un paio di esempi per capire meglio. Consideriamo il caso in cui tra due alternative si scelga quella che ha ricevuto più voti (assumiamo che i votanti siano in numero dispari, così da evitare pareggi). Che proprietà ha questa regola di maggioranza? Soddisfa, per esempio, le proprietà di anonimità, neutralità e monotonia. Neutralità significa che la classifica finale non dipende da fattori esterni quali, fra gli altri, l’ordine delle alternative o il fatto che un candidato sia una donna o un uomo. L’anonimità esprime la stessa proprietà ma applicata ai giudici o, nel caso della Formula Uno, alle gare tenute nei vari circuiti: se Vettel vince a Montecarlo e Hamilton a Monza, il risultato finale deve essere lo stesso che avremmo avuto se Vettel avesse vinto a Monza e Hamilton a Montecarlo.
Infine, la proprietà di monotonia dice che, se una classifica viene cambiata perché un’alternativa viene messa più in alto in classifica (per esempio un pilota che è arrivato prima viene retrocesso di qualche posizione), le altre non possono peggiorare la loro classifica finale. È evidente che la legge di maggioranza soddisfa queste proprietà. Si dimostra anche che, con due alternative, è l’unica che le soddisfa e questo sostanzialmente chiude la storia. Se però le alternative sono solo due. Ma se le alternative sono di più? Si potrebbe continuare a pensare che si vada a maggioranza, almeno se dobbiamo eleggere solo un vincitore (e non fare una classifica completa): si prende l’alternativa che compare più volte al primo posto. Ma siamo sicuri che sia una buona idea? Se lo chiedete ai francesi, probabilmente vi diranno che l’idea invece è pessima. Sono ormai molte le elezioni in cui il candidato presidenziale più votato (Marine Le Pen) non diventa, con grande sollievo della grande maggioranza dei francesi, il presidente della repubblica. Il risultato che riguarda le due alternative ci incoraggia a pensare che potrebbe essere interessante, per stilare una classifica o trovare un vincitore, fare confronti a due a due. E poi scegliere il vincitore. Supponiamo, per esempio, che ci sia un’elezione con i tre candidati A, B, C e supponiamo che le preferenze degli elettori siano le seguenti:

Per 1 elettore la classifica è  A  B  C

Per 7 elettori la classifica è   A  C  B

Per 7 elettori la classifica è  B  C  A

Per 6 elettori la classifica è  C  B  A

Se facciamo i confronti a due a due, vediamo:

B batte A per 13 voti a 8

C batte B per 13 voti a 8

C batte A per 13 voti a 8

Morale della favola: sembrerebbe che C sia l’alternativa da mettere al primo posto, perché vince tutti i confronti diretti. Consideriamo però un altro esempio:

Per un elettore la classifica è  A  B  C

Per un elettore la classifica è  B  C  A

Per un elettore la classifica è  C  A  B

Che cosa succede in questo caso? Un bel pasticcio! Infatti, A batte B che batte C che batte A! Non è assolutamente evidente chi dichiarare vincitore e tantomeno fare una classifica. Si parla in questo caso di Paradosso di Condorcet. Se esiste un vincitore di Condorcet, come nel primo caso, possiamo essere soddisfatti. Ma se non c’è, cosa si fa? Un’idea potrebbe essere quella di attribuire un punteggio a ogni posizione della classifica. Così, se ci sono 10 alternative, ogni elettore dà 10 punti al primo candidato, 9 al secondo, 8 al terzo e via dicendo. È esattamente quel che succede in Formula Uno (sia pure con punteggi diversi). In questo caso, si arriva certamente a una classifica finale coerente. Vediamo un esempio con 4 alternative, tre votanti e le seguenti preferenze individuali:

A  B  C  D

D  C  B  A

D  C  B  A

Con il metodo dei punteggi la classifica finale diventa D C B A. Ma se il primo votante cambia le sue preferenze in modo da avere:

C  B  A  D

D  C  B  A

D  C  B  A

la classifica diventa C D B A. Che cosa ci disturba in questo esempio? Almeno due elementi. Il primo è che siamo abituati a fare confronti a due a due. Il secondo è che possiamo pensare che il primo votante abbia cambiato la sua dichiarazione perché conosce le classifiche degli altri; voleva premiare C ed è riuscito a raggiungere l’obiettivo senza cambiare la mutua posizione tra C e D. Questa possibilità di truccare il gioco ha avuto un celebre esempio in Formula Uno quando il pilota che era in testa nella classifica generale fino all’ultima gara avrebbe vinto il mondiale se il secondo non avesse vinto proprio l’ultimo gran premio. In questo, il secondo aveva davanti, a pochi giri dal traguardo, il compagno di squadra che, in effetti, lo ha fatto passare per permettergli di vincere il campionato. Per evitare questi trucchetti, possiamo richiedere che, se consideriamo due situazioni diverse in cui gli stessi elettori esprimono preferenze diverse su due alternative, allora la classifica avulsa non deve cambiare, se queste alternative vengono valutate sempre nello stesso modo dagli elettori. Nell’esempio precedente, siccome in entrambi i casi C e D sono classificati allo stesso modo (C è meglio di D per il primo elettore, mentre è peggio per gli altri), la classifica finale avulsa tra C e D dovrebbe essere la stessa nei due casi. Questa proprietà appena enunciata è così importante da meritare un nome specifico: si chiama indipendenza dalle alternative irrilevanti, un nome che vuole mettere in evidenza come, in un caso analogo a quello precedente, per stabilire la classifica avulsa tra C e D, le alternative A e B non devono giocare alcun ruolo. È una proprietà convincente, ma un po’ sofisticata da spiegare. Un’altra proprietà che ora introduco è tanto facile da capire quanto incontestabile: se per tutti i votanti l’alternativa A è meglio dell’alternativa B, allora anche nella classifica finale A deve stare davanti a B. Chiameremo questa proprietà unanimità ed è evidente che qualunque regola sensata non può prescindere dal soddisfarla. Bene, abbiamo così individuato due proprietà interessanti:

1.indipendenza dalle alternative irrilevanti;

2.unanimità.

Che cosa succede se richiediamo a una funzione di benessere sociale (si chiama così una funzione che da un gruppo di classifiche date da elettori trae una classifica comune che li rappresenta) di soddisfare entrambe queste proprietà? Il risultato è clamoroso ed è contenuto nell’enunciato del teorema più celebre di tutta la teoria delle scelte sociali: una funzione di benessere sociale che soddisfa le proprietà di unanimità e di indipendenza dalle alternative irrilevanti è necessariamente dittatoriale. In altre parole, se vogliamo preservare le due proprietà, dobbiamo selezionare una persona (a caso, per votazione, in una maniera qualunque) che decida secondo i suoi gusti, indipendentemente da quelli di tutti gli altri. Un teorema dalle conseguenze immense, di cui magari parleremo un’altra volta.