Il gioco delle tre porte: preferite l’auto o una capra?

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In un gioco televisivo americano del programma Let’s Make a Deal della metà del secolo scorso il conduttore Monty Hall dava al concorrente la scelta di tre porte da aprire. Dietro a una delle tre vi era un’auto (di lusso), una capra dietro a ciascuna delle altre due. Il concorrente doveva indicare una porta e avrebbe avuto in premio quel che trovava dietro. Ma prima che la porta scelta dal concorrente fosse aperta, Monty, conoscendo l’esatta disposizione di capre-auto, spalancava un’altra porta delle due restanti, rivelando una capra. Dopodiché chiedeva al concorrente se volesse cambiare la scelta iniziale oppure no.

Benché il gioco di Monty Hall (o dilemma delle tre porte) sia diventato quasi un luogo comune quando si parla della fallacia dell’intuizione umana, rimane tuttora un grande classico rompicapo (brain teaser) e la sua corretta soluzione di per sé controintuitiva continua a sollevare discussioni. In un mio articolo pubblicato sulla rivista Mondo Digitale (n. 45, marzo 2013), la soluzione è illustrata ricorrendo a procedimenti diversi, quali il teorema (o regola) di Bayes, l’enumerazione di tutti i casi possibili, la simulazione con prove ripetute del gioco, la generalizzazione al caso di n porte. (Rinvio al link dell’articolo http://mondodigitale.aicanet.net/2013-1/articoli/05_LUVISON.pdf per ulteriori dettagli).

La soluzione logica. Il dilemma può anche essere affrontato in modo tale che la sua soluzione risulti compatta, più immediata e (quasi) intuitiva. Se ricordiamo che il conduttore, dopo la scelta iniziale del concorrente (primo passo), gli mostra che dietro a una delle due porte restanti c’è una capra (secondo passo), il ragionamento qui proposto si basa su questa semplice osservazione di pura logica: se il concorrente sbaglia la porta iniziale, ma poi al terzo passo cambia la propria scelta, vince l’auto. E quante volte fa la scelta iniziale sbagliata? Quando sceglie una porta con capra, cioè 2 volte su 3. In conclusione, se al terzo passo del gioco egli cambia, individua la porta giusta con probabilità 2/3 (pari al 67%). La controprova è che l’unico caso in cui perde con questa strategia (di cambiare sempre) è quando al primo colpo abbia scelto la porta con l’auto, evento che ha probabilità 1/3. Negli altri due casi invece si accaparra l’auto.

Quasi per magia e senza calcoli, abbiamo ottenuto la soluzione del rompicapo! Ciò non toglie che ci troviamo pur sempre nel campo della probabilità (di vincere l’auto), non della certezza assoluta (probabilità di vincita uguale a uno).

È un dato di fatto che la maggior parte di noi arriva molto lentamente a convincersi della correttezza della soluzione “cambio”, se mai ci arriva. Famoso è il caso del grande matematico Paul Erdős che a lungo vi si oppose prima di accettarla, come racconta Paul Hoffman in L’uomo che amava solo i numeri, la storia appunto di Erdős. Al contrario, alcuni anni fa è stato dimostrato sperimentalmente che, in una situazione simile, i piccioni sviluppano molto più rapidamente degli umani la strategia ottimale. Considerate le piccole dimensioni del cervello di questi uccelli, non è questo risultato davvero sorprendente?