Buon Fibonacci day!

Con questo bell’articolo del nostro “maestro di giochi” Nando Geronimi celebriamo a modo nostro il Fibonacci Day! Buon gioco a tutti!

I conigli del figlio di Bonaccio

Nei secoli attorno all’anno Mille sono gli arabi i depositari della cultura matematica. Avevano assimilato dalla matematica indiana la notazione numerica posizionale e tutto il suo simbolismo; sapevano trattare le frazioni (che indicavano con una linea orizzontale, per separare numeratore e denominatore) e non esitavano neppure a operare con i numeri irrazionali. È agli arabi che si deve il nome algebra: il termine al-jabr significava “ristabilire” ed esprimeva il ristabilimento dell’equilibrio operato in un’equazione quando si scriveva in un suo membro, con il segno opposto, una quantità che era stata eliminata dall’altro. Gli arabi sapevano risolvere le equazioni di primo e secondo grado e particolari tipi di equazioni cubiche.
È Fibonacci, figlio di un mercante pisano, nato attorno al 1170, che fa da tramite tra le conoscenze algebriche sviluppatesi nel mondo arabo e le società occidentali. Le sue vicende si inquadrano nella notevole ripresa fatta registrare in quel periodo dal commercio internazionale: il Mediterraneo era diventato il naturale e nevralgico snodo tra l’Europa e i paesi dell’Africa settentrionale e del vicino Oriente che esportavano spezie, seta e gioielli. L’intensità dei rapporti commerciali tra le repubbliche marinare italiane e alcuni porti arabi aveva portato alla costruzione in queste sedi di interi quartieri abitati da persone tutte originarie di una stessa città. A Bougie, non distante da Algeri, Pisa aveva un suo “stabilimento” diretto da Guglielmo Bonaccio, esponente della classe mercantile della città toscana. In Africa Guglielmo porta con sé il giovane figlio Leonardo che subito manda a scuola d’abaco per completarne l’educazione e impratichirsi nelle procedure dell’aritmetica commerciale. È nella scuola di Bougie che Leonardo viene a conoscenza delle cifre indo-arabe, del sistema posizionale e di tutte le nozioni di carattere algebrico sviluppate dagli arabi e che poi lui stesso approfondirà nei numerosi viaggi che effettuerà per ragioni commerciali in tutto il Mediterraneo. Tornato in patria nel 1202, Leonardo scrive il Liber Abaci che rappresenta una vera e propria summa dell’aritmetica pratica dell’epoca. Il Liber Abaci si rivelerà decisivo per la formazione della nostra civiltà: Fibonacci è il matematico che cambia per sempre i metodi di calcolo dell’Occidente, è l’uomo che fa nascere la matematica europea. Non si sa se in seguito Leonardo sia rimasto a Pisa o abbia ripreso i suoi viaggi. Quello che abbiamo è un documento del 1241 con il quale il comune di Pisa gli conferisce una pensione attestando che a quella data era ancora in vita.
Contrariamente a quanto fa pensare il titolo, il Liber Abaci non tratta dell’abaco – strumento di calcolo in uso e insegnato nelle diverse scuole – ma nei suoi 15 capitoli insegna a operare con il sistema di numerazione decimale, descrivendo tutti i passaggi necessari per giungere al risultato. Introduce le cifre indo-arabe e il segno 0 che gli arabi chiamavano zephirum; sarà proprio da zephirum e dalle sue varianti che deriveranno i nostri termini cifra e zero. I capitoli di carattere algebrico illustrano il sistema di numerazione posizionale, il calcolo con i numeri interi e le frazioni, quello di radici quadrate e cubiche, la risoluzione delle equazioni di primo e secondo grado. Ci sono poi i capitoli dedicati alla presentazione e alla soluzione di varie questioni commerciali. Non bisogna dimenticare che il volume era essenzialmente rivolto ai mercanti, con l’obiettivo di spiegare concetti e strumenti utili per il loro lavoro che spesso li portava a trasformarsi in veri e propri uomini d’affari.
È nel capitolo che oggi potremmo dire dedicato aigiochi e alla matematica ricreativa che troviamo il famoso problema dei conigli. Qui per la prima volta entra in azione la successione, ancora oggi indicata in tutto il mondo come successione di Fibonacci, in cui ogni termine è dato dalla somma dei due precedenti: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 …
Parlando di Fibonacci, non si può non partire dal problema dei conigli. Ne presentiamo comunque altri tre che testimoniano che l’intento del matematico pisano è sempre stato quello di insegnare le regole del calcolo matematico ai mercanti dell’epoca che commerciavano nelle varie città italiane e straniere, dove erano in uso sistemi di misura e monete molto differenti.

I conigli
Un tale pose una coppia di conigli in un luogo circondato da pareti. La coppia iniziò a riprodursi a partire dalla fine del primo mese e ogni mese generò una nuova coppia di conigli. Tutte le altre coppie, nate nel corso dell’anno, iniziarono a riprodursi a partire dal secondo mese dopo la nascita e anch’esse generarono una nuova coppia ogni mese. Quante coppie di conigli nacquero complessivamente in un anno?

Il costo di un rotolo di stoffa
I 2/3 di un rotolo di stoffa è venduto a 3/4 di soldo. Quanti denari costano 4/7 dello stesso rotolo sapendo che 1 soldo corrisponde a 12 denari?

Cavalli che mangiano orzo in un certo numero di giorni
Cinque cavalli mangiano 6 sestari di orzo in 9 giorni. Quanti giorni impiegano 10 cavalli a mangiare 16 sestari di orzo?

In società
Due uomini si mettono in società: il primo apporta 18 libbre di denaro, l’altro 25 libbre. Il guadagno della società ammonta a 7 libbre. Quante libbre di denaro spettano a ciascuno dei due soci?