Giochi matematici – Ma non c’è una soluzione più semplice???

Capita che alcuni nostri lettori talvolta “si arrabbino” quando leggono le soluzioni che i giochisti di Prisma propongono nel dossier dedicato ai giochi matematici. “Si arrabbiano” soprattutto quando trovano la soluzione da noi data troppo pesante e macchinosa, con strumenti da scuole superiori senza che ve ne sia una reale necessità… o almeno questo è quello che ci dicono. Naturalmente a noi il dibattito fa solo piacere e li invitiamo a fornirci le loro soluzioni. In questa rubrica ve le proponiamo, deciderete poi voi lettori quali siano le migliori! Ancora con Maria Dedò!

Gioco 14 (comparso su Prisma 20 di giugno 2020)

UNA STELLA

Qual è la percentuale dell’area del quadrato che risulta occupata dalla stella (che in figura vedete colorata di verde)?

Soluzione di Prisma

Consideriamo solo la parte di quadrato evidenziata dal triangolo OQN corrispondente a 1/8 del quadrato OABC. La percentuale richiesta è uguale alla percentuale del quadrilatero OQNR rispetto al triangolo OQN. Inserendo la figura in un opportuno riferimento cartesiano (e supponendo per comodità unitaria la misura del lato del quadrato), si ha: O=(0;0), A=(1;0), M=(1/2;1), N=(0;1/2); Q=(1/2;1/2). Ponendo a sistema l’equazione delle rette OQ e AN, si trovano le coordinate di R=(1/5;2/5). L’area del quadrilatero OQNR (differenza tra le aree dei triangoli OQN e ORN misura (1/8)–(1/20)=3/40. Il rapporto richiesto vale (3/40)/(1/8)=3/5. Questa frazione corrisponde al 60% della superficie del quadrato.

Soluzione alternativa proposta

Una soluzione (più semplice) che non usa la geometria analitica è la seguente. I triangoli ORN e OCM sono simili (entrambi rettangoli e con un angolo in comune) e il rapporto di similitudine è OM/ON = √5. Quindi l’area di ORN è 1/5 dell’area di OMC, cioè 1/20 dell’area del quadrato; da cui l’area occupata dalla stella è (1-8/20)=3/5 dell’area del quadrato.

Inciso Il fatto che una soluzione sia più semplice di un’altra è discutibile e ha sicuramente componenti soggettive (ognuno di noi trova più semplice una soluzione che usi strade che ci sono più familiari; e viceversa). C’è però anche una componente oggettiva, che riguarda gli strumenti tecnici utilizzati. Usare un dato strumento significa tagliar fuori a priori chi quello strumento non ha ancora incontrato (o non si ricorda); e utilizzarlo nelle soluzioni ai giochi di una rivista significa dire a queste persone “Voi non potevate farlo”. Può succedere, certamente; ma, a mio avviso, andrebbe ridotto al minimo.