I giochi matematici della settimana

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Ecco una selezione dei nostri giochi matematici più divertenti, che trovate ogni mese in edicola su Prisma. Le stelline a fianco del titolo indicano il livello di difficoltà:

1 stellina=facile

2 stelline=di media difficoltà

3 stelline=per solutori esperti

Questa settimana ve ne riproponiamo uno per livello di difficoltà, buona soluzione!

 

 

 

Una famiglia

In problemi di questo tipo, che sono apparentemente dei rompicapo,il linguaggio delle equazioni aiuta non poco. Sia m il numero dei maschi e f quello delle femmine. L’informazione che ogni ragazza ha tanti fratelli quante sorelle porta a dire che il numero delle ragazze è superiore di uno a quello dei ragazzi: f = m + 1. Allo stesso modo,
dall’informazione che ciascun ragazzo ha un numero di sorelle f che è tre volte quello dei suoi fratelli m − 1, ricaviamo l’uguaglianza f = 3 (m − 1). Bisogna allora cercare le soluzioni intere del sistema:
f = m + 1
f = 3 (m − 1)
Otteniamo così f = 3 e m = 2, da cui f + m = 5.

 

Alle prese con l’ottagono

Ogni volta che si traccia un segmento che unisce due punti del contorno di una figura, si crea una nuova regione:

Anche per ogni intersezione con altri segmenti già esistenti si crea una nuova regione. Si tratta quindi di contare segmenti (nel nostro caso le diagonali dell’ottagono) e intersezioni. Il numero delle diagonali è dato dal numero delle combinazioni di 8 oggetti, presi a due a due, al quale bisogna però sottrarre il numero dei lati. Le diagonali dell’ottagono risultano allora 20. Per contare le intersezioni delle diagonali (esclusi i vertici) numeriamo gli stessi
vertici da 1 a 8. A ogni quaterna di interi (per esempio la quaterna {2, 3, 5, 8}) possiamo associare un’unica intersezione (nell’esempio che stiamo facendo, l’intersezione tra la diagonale 2-5 e la diagonale 3-8). Il numero delle quaterne è dato dal numero delle combinazioni di 8 oggetti presi a 4 a 4. Risultano 70. La somma del numero di diagonali e intersezioni è allora uguale a 90. Ma non dobbiamo dimenticare che all’inizio avevamo già una regione.
L’ottagono è quindi diviso al massimo in 20 + 70 + 1 = 91 regioni.

 

I numeri di Nando

Provando a elencare i numeri richiesti, si notano alcune regolarità. Da 10.059 a 10.095 sono 5. Da 10.149 a 10.194 sono 6. Poi sono 7, 8, 9, 10, 9, 8, 7, 6 fino a 10.905: in totale 75. Da 11.049 a 11.094 sono 6. Da 11.139 a 11.193 sono 7. Poi sono 8, 9, 10, 9, 8, 7, 6, 5 fino a 11.904: in totale 75. Ne abbiamo poi 73, 69, 63, 55, 45, 36, 28, 21 fino a 19.500. In totale, abbiamo 540 numeri che iniziano con 1. Proseguendo con i numeri che iniziano con 2, si vede che sono 75 +
73 + 69 + 63 + 55 + 45 + 36 + 28 + 21 + 15 = 540 – 75 + 15 = 480.
I numeri che iniziano con 3 sono: 73 + 69 + 63 + 55 + 45 + 36 + 28 + 21 + 15 + 10 = 480 – 75 + 10 = 415.
I numeri che iniziano con 4 sono: 69 + 63 + 55 + 45 + 36 + 28 + 21 + 15 + 10 + 6 = 415 – 73 + 6 = 348.
Siamo già arrivati a 540 + 480 + 415 + 348 = 1.783 numeri, ci siamo quasi…
I numeri che iniziano con 5 saranno 63 + 55 + 45 + 36 + 28 + … ma con il 54.600 siamo già a 2.010 numeri. Ne mancano solo otto: 55.005, 55.014, 55.023, 55.032, 55.041, 55.050, 55.104, 55.113.
Il 2.018esimo numero è 55.113.