I più celebri errori nella storia della matematica

Ci sono voluti quasi 60 anni per scoprire l’errore nella dimostrazione del matematico francese Henri Dulac. La sua storia ci ricorda che anche i grandi possono sbagliare e apre un inquietante interrogativo: può accadere di nuovo?

Nel 1900 uno dei più insigni matematici dell’epoca, il tedesco David Hilbert, enuncia una serie di problemi che avrebbero dovuto catalizzare l’attenzione dei matematici nel secolo che stava per cominciare. La lista completa, pubblicata in seguito, comprende quelli che oggi sono noti come i 23 problemi di Hilbert. Fra questi, uno dei più ardui è il sedicesimo: il problema della topologia delle curve e superfici algebriche. Eppure è stato uno dei primi a essere risolto. Già nel 1923 la dimostrazione è stata fornita dal matematico francese Henri Dulac: un risultato che ha segnato il culmine della sua carriera, già di tutto rispetto, e che lo ha riempito di orgoglio.
Quando è morto, nel 1955, è stato commemorato con grandi onori dalla comunità matematica internazionale.
Cambio di scena. Siamo nel 1981. Il matematico russo Yulij Ilyashenko si accorge che nella dimostrazione di Dulac c’è un errore. E un errore sostanziale, non sanabile. Il sedicesimo problema di Hilbert è rimasto così insoluto fino a oggi, anche se una sua versione parziale è stata risolta tra il 1991 e il 1992 dallo stesso Ilyashenko insieme al francese Jean Écalle.
Ora, gli errori in matematica capitano a tutti. A chi non è successo, svolgendo un compito in classe, di sentirsi
soddisfatto per la risoluzione di un problema, per poi scoprire che era sbagliata solo al momento della correzione da parte del docente? Non ci si dovrebbe stupire che anche i grandi matematici siano fallibili.
Del resto, anche altri errori “nobili” sono rimasti famosi. Nel 1902 il gallese Bertrand Russell, con una breve lettera, ha minato le basi del grandioso edificio con cui il tedesco Gottlob Frege credeva di aver definitivamente stabilito le solide fondamenta logiche della matematica. E ancora, nel 1993, nella dimostrazione dell’inglese Andrew Wiles del celeberrimo teorema di Fermat, sono state trovate alcune lacune (poi sanate dallo stesso Wiles l’anno seguente).
Ma il caso di Dulac è diverso. Gli errori di Frege e di Wiles sono stati scoperti praticamente subito, da altri matematici di pari livello, così come a maggior ragione i compiti sbagliati degli studenti vengono corretti in un attimo dai loro professori. Invece la dimostrazione di Dulac è stata considerata valida da generazioni di matematici per 58 anni: nessuno era arrivato a una sufficiente padronanza della materia (o nessuno ci si era dedicato abbastanza). Lui stesso era morto convinto di passare alla storia per la sua soluzione. E invece, paradossalmente, oggi è noto soprattutto per il suo errore.
Viene spontaneo chiedersi se non possa capitare di nuovo. E qualcuno potrebbe immaginare uno scenario fantascientifico in cui, fra qualche secolo, un nuovo genio arrivi a scoprire un errore in un teorema ritenuto valido per millenni (magari il teorema di Pitagora, per la gioia dei complottisti).
Anche scartando queste ipotesi inverosimili, si pone però una questione seria. Oggi i ricercatori sono incentivati a pubblicare il più possibile e il più rapidamente possibile, e le riviste scientifiche a loro volta assecondano questo meccanismo, a scapito della qualità: la conseguenza è che in tutte le scienze una parte non trascurabile degli articoli pubblicati viene poi ritirata. Non potrebbe succedere anche in ambito matematico che a un revisore poco attento (o poco esperto) sfugga un errore in un teorema? E quanto passerà prima che qualcuno se ne accorga?
Si potrebbe immaginare un computer in grado di verificare tutte le dimostrazioni di tutti i teoremi, ma non potrebbe esserci un errore negli algoritmi sviluppati dai suoi programmatori? Non se ne esce.
C’è però un lato positivo in tutto ciò. Gli errori in matematica, una volta scoperti, portano spesso ad aprire campi di ricerca fecondi. Ed è successo anche con il sedicesimo problema di Hilbert.