Ci immergiamo con grande entusiasmo nel nuovo anno ma non possiamo non riflettere sulle lezioni che l’anno appena trascorso ci ha offerto. Nel 2025, la matematica si è distinta per la sua straordinaria ricchezza, regalando una varietà di risultati tecnici di grande rilevanza, storie che sorprendono per la loro originalità, congetture che finalmente hanno trovato una soluzione e nuove domande che si stagliano all’orizzonte, pronte a stimolare la curiosità e la ricerca dei matematici di domani.
Questi momenti di bilancio non sono solo un esercizio di memoria, ma rappresentano una preziosa occasione per comprendere come la disciplina si evolva continuamente, alimentata sia da progressi teorici sia da scoperte inattese. La matematica, ancora una volta, si rivela campo fertile per interrogativi e conquiste, dimostrando che ogni traguardo raggiunto apre la strada a nuove sfide e prospettive.
Integrando i contributi di Quanta e Scientific America e della comunità matematica italiana MaddMaths, proviamo a restituire un quadro completo di un anno che ha lasciato il segno.
Geometria: il poliedro impossibile e altre rivoluzioni
Nel panorama matematico del 2025, un protagonista inatteso ha attirato l’attenzione della comunità scientifica: il nopertedro. La sua peculiarità più sorprendente risiede nell’impossibilità di essere attraversato da una copia di sé stesso, indipendentemente dalla rotazione o dalla traslazione, ovvero di essere privo della cosiddetta proprietà di Rupert. Un poliedro, indicato generalmente con la lettera P, si dice possieda la proprietà di Rupert se è possibile praticare in esso un foro tale da consentire il passaggio di una copia di egual dimensione di P attraverso il foro stesso. Questa proprietà, benché possa sembrare bizzarra a prima vista, ha radici storiche profonde.
Nel Seicento, il principe Rupert del Reno, nipote di Carlo I d’Inghilterra, sfidò John Wallis, uno dei più noti matematici del tempo chiedendo se può un cubo passare attraverso un altro cubo della stessa grandezza senza toccarne i lati? Wallis dimostrò che forando il cubo in diagonale e inclinandolo nel modo giusto, un secondo cubo identico poteva attraversarlo.
Nel Novecento, numerosi matematici si sono interrogati su quali altri solidi presentassero questa proprietà. È stato dimostrato che tutti i solidi platonici sono Rupert, mentre studi approfonditi hanno analizzato anche i solidi di Archimede, Catalan e Johnson. La grande maggioranza di questi risulta Rupert, anche se alcuni casi restano ancora irrisolti. Sono inoltre emerse connessioni affascinanti, come il legame tra la dualità dei poliedri e la proprietà di Rupert. Per questo, negli ultimi anni, si era fatta strada una congettura molto seducente: Forse tutti i poliedri convessi hanno la proprietà di Rupert.
La svolta è arrivata quando due ricercatori austriaci, Jakob Steininger e Sergey Yurkevich, hanno individuato un solido che infrange la regola: il nopertedro, un poliedro convesso che non può attraversare una sua copia in alcuna inclinazione possibile. Per capirlo, hanno trasformato il problema in un linguaggio più geometrico: invece di immaginare un solido che attraversa un altro, hanno studiato le proiezioni del poliedro sul piano. Se una proiezione può essere ruotata e inserita completamente dentro un’altra, allora il solido è Rupert. Se questo non accade per nessuna coppia di proiezioni, il solido non lo è. Dopo mesi di lavoro, simmetrie studiate al millimetro e milioni di simulazioni, i due ricercatori hanno costruito un oggetto sorprendente: il Noperthedron. Il nome è un gioco di parole: Rupert → Nopert → “nope, non passa”. Il Noperthedron è un poliedro convesso altamente simmetrico, con 90 vertici distribuiti in modo quasi uniforme attorno a una sfera immaginaria. Una forma elegante, quasi ornamentale, ma con una caratteristica unica al mondo: non esiste alcuna inclinazione, rotazione o direzione di proiezione che permetta a una sua copia di attraversarlo, primo esempio esplicito di poliedro convesso che non possiede la proprietà di Rupert.
Sempre in geometria, un risultato monumentale: la dimostrazione della congettura di Langlands geometrica, che mette in relazione diverse superfici di Riemann, frutto di un lavoro collettivo di nove matematici e cinque articoli per quasi mille pagine. Il gruppo era guidato da Dennis Gaitsgory del Max Planck Institute for Mathematics in Germania e da Sam Raskin dell’Università di Yale, che ha conseguito il dottorato con Gaitsgory nel 2014.
È un tassello fondamentale del vasto programma di Langlands, spesso descritto come una possibile “teoria unificata della matematica”.
E poi la soluzione definitiva di un problema centenario: non si può trasformare un triangolo in un quadrato suddividendolo in meno di quattro pezzi. La dimostrazione chiude una questione aperta dal 1902.
Inoltre a marzo 2025 Joshua Zahl e Hong Wang hanno pubblicato su arXiv una soluzione definitiva alla congettura di Kakeya in dimensione 3. Il matematico giapponese Sōichi Kakeya, nel 1917 si chiese: immaginando di avere tanti “tubi” molto sottili, lunghi 1 e con raggio δ, orientati in direzioni diverse nello spazio quanto può essere piccolo il volume dell’insieme che contiene almeno un pezzo di tubo in ogni direzione?
In 2D la risposta è nota da tempo: l’area non può essere troppo piccola. In 3D, invece, il problema è stato un rompicapo per decenni e ora abbiamo finalmente una risposta.
Topologia e teoria dei nodi: quando la complessità diminuisce
Una congettura classica sosteneva che unendo due nodi la complessità risultante fosse la somma delle complessità iniziali. Quest’anno è arrivato il controesempio: un nodo più semplice della somma delle sue parti. Un risultato che costringe a rivedere intuizioni radicate nella teoria dei nodi.
Storie di matematica: giovani talenti ed eredità che continuano a generare idee
Tra le storie più affascinanti dell’anno c’è quella di Hannah Cairo, 17 anni, che ha trovato un controesempio a una congettura di analisi armonica rimasta aperta per quarant’anni.
Un altro filone narrativo riguarda l’eredità di Maryam Mirzakhani. Le sue idee continuano a generare sviluppi profondi, come il lavoro di Nalini Anantharaman e Laura Monk sulle superfici iperboliche. La matematica, qui, appare come una genealogia di idee che si trasformano e si trasmettono.
Fisica matematica: un passo avanti nel Sesto problema di Hilbert
L’8 agosto del 1900 David Hilbert nella sua conferenza del Congresso internazionale dei matematici svolto a Parigi presentò una lista di problemi matematici irrisolti. Il sesto problema si enuncia con assiomatizzare tutta la fisica. Essendo molto vago il sesto problema è stato suddiviso in vari sottoproblemi e nel 2025 tre matematici — Yu Deng, Zaher Hani e Xiao Ma — hanno annunciato di aver risolto il sottoproblema riguardante l’unificazione di tre teorie fisiche per descrivere il moto dei fluidi. Il risultato, ancora in forma di preprint, ma già discusso e apprezzato, rappresenta un passo importante verso la comprensione del legame tra descrizione microscopica (le molecole) e descrizione macroscopica (le equazioni dei fluidi).
Algoritmi: barriere che cadono e complessità che si riscrive
Nel campo della matematica discreta, due risultati spiccano:
Per la prima volta dal 1956, Ran Duan, Jiayi Mao, Xiao Mao, Xinkai Shu, Longhui Yin, un gruppo di ricercatori della Tsinghua University, Stanford University e Max Planck Institute for Informatics, hanno dimostrato che esiste un algoritmo deterministico più veloce di quello di Dijkstra per risolvere il problema del cammino minimo nei grafi diretti sparsi in cui gli archi sono dotati di pesi reali non negativi. Un miglioramento teorico che potrebbe aprire nuove strade nella progettazione di algoritmi.
Un nuovo framework teorico messo a punto da Eleon Bach, dottorando della Technical University of Munich, Sophie Huiberts, ricercatrice del CNRS, Alexander E. Black del Bowdoin College e Sean Kafer dell’Illinois State University, affronta la complessità computazionale dell’algoritmo del simplesso, uno dei principali metodi esatti per risolvere problemi di programmazione lineare. Superando i limiti della smoothed analysis di Spielman e Teng, il lavoro mostra che con adeguate tecniche di scalabilità e tolleranza il simplesso può operare in tempo polinomiale.
Numeri primi: caos, frattali e limiti della conoscenza
I numeri primi sono stati protagonisti assoluti del 2025.
Restando nei numeri il 2025 ha segnato anche progressi nel mostrare l’irrazionalità di alcuni numeri, con tecniche abbastanza sofisticate.
Nuovi tipi di infinito
Un gruppo di matematici ha introdotto due nuovi tipi di infinito che si comportano in modi non convenzionali rispetto alle strutture classiche.
