La topologia del ciuffo

Se dovessimo cercare nei libri di matematica un teorema dal nome strano, sicuramente ci fermeremmo una volta arrivati al “teorema della palla pelosa”. È un teorema di topologia algebrica (un settore della matematica che usa gli strumenti dell’algebra per studiare gli spazi topologici) dal nome simpatico che recita: “Non esiste un campo vettoriale continuo, non nullo, tangente a una sfera”. Capito tutto? Forse è più chiaro così: “Data una palla pelosa, non potrai mai pettinarla senza formare una vertigine o, come qualcuno la chiama, una rosa”. Proviamo a raccontarlo in un modo semplice e, speriamo, divertente. Immaginate di esservi appena svegliati, vi avvicinate allo specchio, avete tutti i capelli in disordine, decidete di pettinarli ma… ecco che all’improvviso spunta quel piccolo ciuffetto che non si adatta al senso della vostra pettinatura (la famosa vertigine). Potete immaginare i capelli pettinati come uno dei campi vettoriali continui di cui parla il teorema, un campo tangente alla vostra testa che approssima piuttosto bene una sfera: la vertigine può “mostrarvi” allora il punto in cui la pettinatura non è più tangente alla sfera e il gioco è fatto. Ma a che cosa serve tutto questo? A parecchie cose. Una sua prima applicazione è nell’ambito meteorologico. I matematici rappresentano graficamente il vento su tutto il globo con delle semplici frecce che indicano direzione e velocità. Il teorema della palla pelosa suggerisce allora che ci sarà almeno un punto sulla Terra in cui il vento ha velocità zero (lo chiamano “punto di calma” o “nodo del vento”). Interessante? Certo, perché da questa affermazione possiamo dedurre la presenza di cicloni e anticicloni. Il che fra l’altro vuol dire che nel tempo di lettura medio di questo articolo ci saranno stati almeno un paio di cicloni sparsi per il globo. Un dato che sembra irreale ma non lo è, visto che nel 1912 il teorema che lo sorregge è stato dimostrato da Luitzen Brouwer, un matematico olandese che è stato anche uno dei massimi filosofi della matematica e ha fondato la scuola intuizionistica, quella per cui – se mi concedete la semplificazione – un ente matematico esiste solo se siamo capaci di costruirlo. Ma ci sono altri campi di utilizzo del teorema, dalla computer grafica, alla robotica e alla fisica delle particelle. Non a caso, nel 2007, Francesco Stellacci, docente all’EPFL di Losanna, si è servito del teorema della palla pelosa per ottenere una particolare struttura a catena di nanoparticelle utilizzabili come nano-fili nei dispositivi elettronici. Il teorema della palla pelosa può essere visto come un caso particolare del teorema di Poincaré-Hopf che mette in relazione gli zeri di determinati campi vettoriali su una superficie con la sua caratteristica di Eulero (un numero intero associato alla superficie che ne descrive alcune proprietà da un punto di vista topologico). Ad esempio, la caratteristica di Eulero di una sfera è uguale a due. Allora, se si crea un ciclone, come detto prima, se ne deve creare un altro in qualche altra parte della superficie terrestre. Invece, le ciambelle, che hanno caratteristica zero, possono essere tranquillamente “pettinate” o in altri termini ammettono dei campi vettoriali tangenti nulli. Sarà per questo che chi è pelato a metà non ha problemi con le vertigini!