Esagoni, cerchi e tangenti: al ristorante con Lagrange

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Il rispetto del distanziamento sociale è una situazione studiata in matematica con il nome di impacchettamento di cerchi di densità massima. Il problema è stato risolto da Lagrange, ma le api sapevano già come fare.

La pandemia da SARS-CoV-2, che ha colpito duramente anche l’Italia, sembra finalmente rallentare. La Fase 2, iniziata a maggio, ci sta lentamente riavvicinando alla normalità, rendendo più semplici gli spostamenti. Hanno riaperto le attività commerciali dopo settimane di quarantena e distanziamento sociale. Questo non vuol dire che possiamo abbassare la guardia nella lotta contro il virus: ancora nel prossimo futuro saranno necessari accorgimenti e misure di sicurezza al fine di contrastare la diffusione del contagio.

Nei giorni precedenti alle riaperture si è molto discusso su quali precauzioni adottare a proposito delle distanze da mantenere nei luoghi chiusi, come ristoranti e locali. Si doveva raggiungere un compromesso fra la necessità di salvaguardare la salute dei clienti e quella altrettanto pressante per i commercianti di far ripartire la propria attività nelle migliori condizioni di ricettività possibili. Alla fine, è stato deciso di imporre una distanza minima di sicurezza, pari a 1 metro, fra gli avventori in modo da evitare pericolosi assembramenti. Sta ora al ristoratore scegliere come organizzare al meglio lo spazio del proprio locale, in maniera da accogliere il maggior numero possibile di clienti pur sottostando a questo vincolo. Come fare?

Il problema appartiene alla cronaca di questi giorni ma ammette una soluzione antica. In matematica, è stato studiato con il nome di impacchettamento di cerchi di densità massima. Per capire il legame fra la questione che devono affrontare i ristoratori e il quesito matematico, immaginiamo che (al fine di garantire le distanze di sicurezza) ciascun cliente all’interno del locale sia circondato da una “barriera invisibile” che impedisca agli altri clienti di avvicinarsi a meno di un metro. Questo vuol dire che attorno a ciascun cliente dovrà essere lasciata vuota un’area circolare di diametro 1 metro: al massimo, due cerchi che circondano due persone possono essere tangenti toccandosi appena, nel qual caso le due persone si troveranno appunto a distanza di 1 metro l’una dall’altra. Messo in questi termini, il problema della disposizione ottimale dei clienti all’interno del locale si traduce in quello di “impacchettare” cerchi tangenti di diametro fissato (in questo caso, 1 metro) nella maniera più “densa” possibile, ovvero cercando di ricoprire il più possibile il dominio piano corrispondente alla planimetria del ristorante.

Una volta formulato il problema astratto dell’impacchettamento di cerchi, cerchiamo di capire come ottenere quello di densità massima. Immaginiamo di aver fissato due cerchi tangenti: dove posizionare un terzo cerchio in modo che la disposizione complessiva sia la più “compatta” possibile? Un momento di riflessione ci porta a concludere intuitivamente che il modo di “incastrare” al meglio il terzo cerchio è quello di fare in modo che sia tangente ai primi due: i centri dei tre cerchi (che corrispondono a tre clienti, nel problema del ristoratore) andranno a formare i vertici di un triangolo equilatero di lato 1 metro. Per posizionare nuovi clienti, si procederà alla stessa maniera così che l’area circolare attorno alla nuova persona da inserire nella configurazione rimanga tangente a due delle aree circolari già disposte in precedenza.

Nel 1773, il matematico Joseph-Louis Lagrange formalizzò questa intuizione e dimostrò che, se abbiamo a disposizione tutto il piano (infinito) da ricoprire, questa configurazione regolare costituisce l’impacchettamento di cerchi di densità massima, ovvero quello che ricopre il piano lasciando scoperta la parte di area minore possibile. È una disposizione detta “a nido d’ape” perché ricorda la forma delle celle negli alveari, a dimostrazione che la Natura è in grado di ottimizzare gli spazi da ben prima della dimostrazione di Lagrange.

La stessa configurazione è collegata anche a un altro interessante oggetto matematico, ovvero la tassellatura esagonale del piano. Per tassellatura, si intende un modo di ricoprire una regione del piano con dei “tasselli” (figure anche curvilinee e/o diverse tra loro) in modo che tutta la regione sia ricoperta e che nessuno dei tasselli si sovrapponga ad altri. Esistono solo tre poligoni regolari che possono essere usati come tasselli per ricoprire completamente il piano: il triangolo equilatero, il quadrato e l’esagono regolare. È proprio quest’ultima figura che costituisce il tassello attorno a ciascun cliente nell’impacchettamento di Lagrange, come mostra la figura qui sopra. Se un tassello esagonale risulta circoscritto a una circonferenza di diametro 1 metro, l’esagono avrà un’area di circa 0,87 m2. Questa è l’area riservata a ciascun cliente nella disposizione ottimale, ben inferiore ad esempio al metro quadrato per cliente che avremmo dovuto prevedere se li avessimo disposti mediante una tassellatura quadrata, cioè “a scacchiera”.

Sebbene la dimostrazione di Lagrange sia valida per il piano infinito, la tassellatura esagonale rimane una disposizione efficiente anche per le superfici finite dei ristoranti e dei locali. È questo il suggerimento che la matematica può dare ai ristoratori, se non altro finché non potremo tornare a mangiare una pizza gli uni vicini agli altri.