L’algoritmo che porta armonia tra i coinquilini

In autunno prende il via il nuovo anno accademico. Le varie componenti del mondo universitario guardano all’evento in modo diverso. Per i docenti si chiude il periodo interamente dedicato alla ricerca, mentre si apre quel momento, senza dubbio stimolante, in cui incontrano studenti e studentesse del nuovo anno. Questi, dal canto oro, si ritrovano in una routine molto familiare. Tutti, s’intende, tranne le matricole, alle prese con una quantità di novità entusiasmanti e insidiose. Una su tutte: quell’esperimento sociale continuo che è la condivisione di un appartamento. Logica, matematica e probabilità danno il loro prezioso contributo anche in questa situazione, che solo a uno sguardo superficiale risulta squisitamente pratica.

Per semplicità consideriamo lo scenario in cui un appartamento con tre camere da letto viene affittato da Fleur, Sara e Dario per 1.200 euro al mese. Il problema è determinare in modo equo il contributo individuale per le spese di affitto. Va da sé che il problema non sussiste nel caso in cui le tre camere da letto siano esattamente identiche: basta dividere per tre. Si tratta però di uno scenario che possiamo scartare come sufficientemente improbabile (quasi certamente una camera sarà per esempio un po’ più grande). Qual è dunque il modo di calcolare equamente i contributi d’affitto?

Dario, tipo decisamente pratico, propone una soluzione semplice: le quote di affitto siano proporzionali alla dimensione della camera da letto. Ma poiché raramente le camere differiscono solo per metratura, è evidente che questa soluzione sia destinata a generare l’insoddisfazione di qualcuno, se non l’invidia o addirittura il conflitto tra i nuovi coinquilini, perché una camera avrà un piccolo balcone, una avrà installato un impianto di aria condizionata, un’altra ancora sarà esposta sul silenzioso cortile interno o, al contrario, sulla strada trafficatissima. Per tentare di trovare una soluzione soddisfacente dobbiamo dunque rappresentare il problema in modo più dettagliato e dobbiamo essere più precisi su cosa sia ragionevole intendere per una soluzione equa (visto che le opzioni “ovvie” non sono applicabili).

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Come abbiamo appena osservato, è necessario in primo luogo che la soluzione prevenga l’insorgere dell’invidia, e cioè quella situazione in cui qualcuno abbia la sensazione di aver fatto l’affare peggiore di tutti (o di qualcun altro). Per riuscirci dobbiamo stabilire il grado di soddisfazione che Fleur, Sara e Dario otterranno dalle proprie camere, per esempio quantificando il piacere che traggono da avere una camera e sottraendo a questo il suo costo. Questa quantificazione dipenderà dunque dalle abitudini e dai gusti soggettivi di ognuno dei tre coinquilini. È ragionevole supporre che tra Fleur, Sara e Dario non sorgeranno invidie future se ognuno avrà massimizzato il proprio grado di soddisfazione.

In secondo luogo è necessario che la situazione sia socialmente efficiente, nel senso di costituire il miglior compromesso possibile date le circostanze, o in altre parole che sia impossibile trovare un’altra soluzione che renda più felice uno dei coinquilini senza rendere meno felice un altro.

Se siete d’accordo che una divisione equa dell’affitto debba minimizzare la probabilità di invidia futura ed essere socialmente efficiente, ecco una buona notizia: avete a disposizione un algoritmo che vi darà quello che cercate. E non avete nemmeno bisogno di essere esperti di coding: potete usarne l’implementazione disponibile su www.spliddit.org (anche per suddividere equamente altri beni o servizi!).

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Ma chi ci dice che l’algoritmo è affidabile? In un lavoro apparso nel 2017 sul Journal of the ACM, gli economisti computazionali Ya’akov Gal, Moshe Mash, Ariel D. Procaccia e Yair Zick hanno dimostrato matematicamente che l’applicazione vi porterà senza dubbio alla soluzione equa descritta informalmente sopra (come riconosciuto anche dagli utenti del sito). In particolare è interessante notare l’uso che viene fatto del Lemma di Sperner nella dimostrazione dell’esistenza di una soluzione che prevenga l’invidia. Si tratta di un risultato ai confini tra topologia e geometria combinatoria, ottenuto nel 1928. Ecco uno dei moltissimi esempi di come la matematica non si possa mai dire davvero “pura”. Se un risultato è profondo, è solo questione di tempo prima che diventi fondamentale per qualcosa di estremamente pratico.