163. Soluzioni del 1° dicembre 2025 – Un biliardo semicircolare
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Le soluzioni del 22 settembre 2025 a cura di Fabio Ciuffoli
Ieri abbiamo proposto quattro giochi che hanno fatto parte dei Campionati Internazionali 2021/22 della Swiss Federation of Mathematical Games (FSJM). Di seguito li presentiamo con le soluzioni.
Bentornata scuola – soluzioni
1. Vasi. Le ciotole sono identiche. L’altezza di una pila di quattro ciotole è di 13 centimetri e di una pila di due ciotole è di 9 centimetri. Quanto sarebbe alta, in centimetri, una pila di sei ciotole?
1. SOLUZIONE. La differenza tra le due pile è 4 cm, che è l’incremento di spessore di due ciotole e perciò ogni ciotola comporta un incremento di 2 cm, perciò la pila di sei ciotole sarà alta 17 cm.
2. Joe Ellery produce gioielli. Pesa delle pietre preziose. Pietre della stessa forma hanno lo stesso peso. Le tre bilance indicano rispettivamente 27g, 24g e 21g. Qual è il peso in grammi di ogni forma di pietra?
2. SOLUZIONE. Definiamo le pietre quadrate, circolari e triangolari rispsettivamente con Q, C e T e avremo il seguente sistema di tre equazioni con tre incognite:
Sommando membro a membro le prime due equazioni e sottraendo la terza, otteniamo: 5Q = 30 per cui Q = 6g.
Ora sostituendo avremo: C = 27 – 18 = 9g e infine T = 21 – 18 = 3g.
3. Tubi. Un condotto cilindrico contiene due tubi grandi e due tubi piccoli tangenti tra loro e al condotto, come mostrato in figura. Il diametro di ogni tubo grande misura 24 cm. Qual è il diametro in cm di ciascuno dei tubi piccoli?
3. SOLUZIONE. Definiamo x il raggio del cerchio piccolo, con Pitagora avremo: (24 – x)2 + 122 = (12 + x)2.
Svolgendo 576 + x2 – 48x + 144 = 144 + x2 + 24x, che diviene 576 = 72x , da cui x = 8 cm. Il diametro di ciascun tubo piccolo è quindi 16 cm.
Segnalo l’elegante soluzione, suggerita nei commenti da Sergio Casiraghi, mediante l’applicazione del Teorema di Descartes sulle circonferenze tangenti con tanto di storia, poesia e immagini. Le circonferenze che si baciano sono essenzialmente 3 quelle interne, due grandi e una piccola, la quarta è quella che le contiene!
Indicando con a e b i raggi dei due cerchi contenuti nel cerchio grande di raggio R=24 occorre trovare i diametri del tubo piccolo, 2b=?
Per il Teorema di Descartes dei TRE cerchi tangenti la formula è
(2/a+1/b-1/R)^2 = 2(2/a^2+1/b^2+1/R^2), dove a = R/2 = 12
per cui (4/R+1/b-1/R)^2 = 2(8/R^2+1/b^2+1/R^2)
(3/R+1/b)^2 = 2(9/R^2+1/b^2)
1/b^2+6/(bR)+9/R^2 = 18/R^2+2/b^2
1/b^2-6/(bR)+9/R^2 = 0
(R/b)^2-6R/b+9 = 0
Quindi R/b = 3 e quindi b = 24/3 = 8 ovvero 2b = 16.
4. Mr. Fish è il proprietario di un terreno a forma di triangolo equilatero con una vasca centrale a forma di triangolo curvilineo. Ciascun lato curvilineo dello stagno unisce due punti medi dei lati del triangolo equilatero ed è costituito da 1/6 di cerchio che ha come centro il punto medio del terzo lato del triangolo. Mr. Fish decide di regalare a ciascuno dei suoi tre figli un pezzo di terreno (ogni pezzo in bianco nel disegno) e di tenere per sé il laghetto. Il grande triangolo equilatero ha i lati di 100 m. Quanta terra riceverà in metri quadri ogni figlio?
4. SOLUZIONI. Il terreno di ciascun figlio è un quarto del triangolo equilatero meno l’area del rispettivo segmento circolare. L’area del triangolo equilatero di lato 100m è (√3/4) L2 = 4.330,13 m2. Ora dividiamo per quattro e calcoliamo così l’area di un triangolino: 4.330,13 / 4 = 1.082,53 m2.
L’area del segmento circolare è data dall’area del settore circolare meno il rispettivo triangolino (502π/6) – 1.082,53 = 225,8 m2. Infine l’area donata a ciascun figlio è 1.082,53 – 225,8 = 856,73 m2.
I Giochi del Lunedì tornano tra due settimane.
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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.