I Giochi del Lunedì di Prisma del 9 febbraio 2026 a cura di Fabio Ciuffoli
Il problema che proponiamo oggi riguarda un’interessante relazione tra le reti di comunicazione e le bolle di sapone: si tratta di collegare un certo numero di punti, su un piano, con il percorso più breve, ad esempio connettere più città tramite strade, condutture dell’acqua o cavi elettrici. E vedremo che la superficie delle bolle di sapone fornisce un semplice meccanismo analogico per indicare la soluzione dei problemi di percorso minimo. Invitiamo i lettori a inviarci osservazioni, commenti e proposte di soluzione. Domani alle ore 17.00 pubblicheremo le soluzioni.
Intelligenza e bolle di sapone.
Quattro città sono situate ai vertici di un quadrato, come mostrato di seguito:
Qual è il sistema stradale che collega tutte e quattro le città utilizzando la lunghezza totale minore?
Illustriamo, come esempio introduttivo, una serie di risposte sbagliate e un suggerimento.
1. Collegamento mediante un quadrato. Ipotizzando che il lato del quadrato misuri 1 il percorso misura 4 che non è un minimo.
2. Collegamento mediante una circonferenza. Il percorso misura π • √2 = 4,44.
3. Collegamento a forma di U. Il percorso misura 3 che non è ancora un minimo inoltre comporta notevoli difficoltà per le due città in alto nel disegno.
4. Collegamento mediante una X. Il percorso misura 2 • √2 = 2,83. 
Sebbene il collegamento a X sia il più breve, tra quelli visti sopra, non è la soluzione ottimale. Esiste un percorso ancor più breve. Sapreste trovarlo?
Suggerimento. La soluzione matematica non è facile (occorre il calcolo infinitesimale) ma suggeriamo un’ipotesi intuitiva basata sulle bolle di sapone. Se realizziamo un modello in plastica del problema (tipo un “toast” in cui la “il pane” è costituito da due pezzi di plexiglas e il “ripieno” da quattro piccoli tasselli di uguale lunghezza, posizionati agli angoli di un quadrato) e lo mettiamo in una ciotola di acqua saponata, si formeranno delle bolle attorno ai tasselli che sorprendentemente mostreranno la soluzione. La natura trova la struttura minima all’istante. Il modello in plastica è come un computer analogico. Infatti, la soluzione assomiglia a una semplice forma geometrica che appare spesso nel mondo reale in un ambiente molto familiare.
Aggiornamento per la soluzione click qui.
Il problema è diventato noto come problema di Steiner, dal nome del matematico del XIX secolo Jacob Steiner che lo studiò, ma fu il matematico Richard Courant, negli anni ’40, a diffondere l’approccio analogico alla soluzione di questi problemi.
In questa pagina vengono pubblicati giochi matematici, logici e di ragionamento ogni 15 giorni il lunedì in mattinata.
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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
11 risposte
Non ho fatto l’esperimento con le bolle di sapone, ma se i punti sono 4 città se 4 auto che intendono recarsi in ciascuna delle altre 3 partono contemporaneamente, non rischiano di scontrarsi in mezzo, quante corsie servono in quella strada per evitare che accada? Forse è meglio che qualcuna faccia un percorso un po’ più lungo, non vi pare?
Ciao a tutti, credo che le configurazioni proposte da Vic e Vecchi siano ottimali con angolo di 120° nei due punti di snodo extra (i cosiddetti punti di Steiner). Pensando alla soluzione ottimale, partendo da 2 vertici da connettere non c’è storia e passando a 3 si può vedere che inserendo uno snodo extra ad angoli di 120 ° si ottimizza, quindi con 4 vertici avremo la soluzione indicata. Credo sia questo il filo logico della geometria delle reti minime. Questo valore dell’angolo di 120° non è casuale, ma penso derivi dalle leggi della fisica (le Leggi di Plateau). Se l’intuizione è corretta per un insieme di n punti, il numero massimo di punti di Steiner necessari per la rete minima sarebbe sempre n – 2. Per 5 città avremmo al massimo bisogno di 3 snodi e di 98 per 100 città. Chissà, buonanotte è mezzanotte!
Ottimo, nel pomeriggio la soluzione commentata.
Sono state pubblicate le soluzioni nelle quali si accenna alla geometria delle reti minime e al numero dei punti di Steiner con 3, 4, 5, 6 e 8 vertici, argomento che meriterebbe un ulteriore approfondimento. Tks.
Non so perché ma mi viene in mente un “Dividere una torta”, problema che si rivelò particolarmente tosto anni fa
A me invece la figura che rappresenta la soluzione ha fatto pensare all’ipercubo in 4D.
O meglio alla sua “ombra” tridimensionale.
Bella suggestione…
Potrebbe essere una cosa del genere, per cui si deve trovare il minimo di:
2x + 4sqrt((1/2-x)^2+(1/2)^2)
che Wolfram trova:
minimo = 1+sqrt(3) = ~2,73205
per x = (1-1/sqrt(3))/2 = ~0.21132
Spina dorsale interna a 2 coppie di città, si formano 2 vertici centrali di 120° la lunghezza diventa 1+√3 circa 2,732 (le bolle di sapone formano i 2 vertici centrali in cui si incontrano i segmenti). Forse… 🥴
Buongiorno Fabio.
La prima soluzione che mi è venuta in mente è un percorso ad H.
In realtà è quello equivalente (in quanto a lunghezza) della tua ipotesi 3. ad U
Pensando poi alla X, e dietro tuo suggerimento di pensare alle superfici di acqua saponata, ritengo che il percorso migliore sia quello raffigurato in allegato.
Lascio il calcolo ad altri, sicuramente più bravi di me 🙂
Ottimo, ovviamente l’incognita è il valore degli angoli nei due punti di intersezione…