161. Soluzioni del 4 novembre 2025 — Rapina al Louvre

Soluzioni del 4 novembre 2025 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri abbiamo presentato 5 problemi graduati a difficoltà crescente nei quali si chiedeva il numero minimo di telecamere necessario o sufficiente e il loro posizionamento per poter sorvegliare le pareti di un museo. Di seguito pubblichiamo nuovamente i problemi con le nostre proposte di soluzione e le relative considerazioni empiriche e teoriche.

Rapina al Louvre – soluzioni

2. SOLUZIONE. Anche questo caso, sebbene presenti una strana disposizione, è relativamente semplice. Proponiamo la soluzione empirica: con 4 sorveglianti è possibile coprire tutte le pareti. In figura proponiamo una delle possibili collocazioni contrassegnate con 4 asterischi. Altre soluzioni sono state indicate nei commenti tra queste anche una che minimizza  la misura dei cavi di collegamento tra le telecamere. Ottimo!

3. SOLUZIONE. In questo caso è molto più difficile sapere quante telecamere saranno necessarie e dove posizionarle. Il teorico dei grafi Václav Chvátal risolse il problema in termini generali nei primi anni Settanta del secolo scorso. La risposta dipende dal numero di angoli, infatti dividendo il numero di angoli di un poligono per 3, si ottiene il numero di telecamere sufficienti per vedere tutti i lati. In questo caso ci sono 15 angoli, perciò 15/3 = 5 quindi con al massimo 5 telecamere si potranno sorvegliare tutte le pareti. Se il numero di angoli non fosse divisibile per 3, ad esempio se ci fossero 20 angoli la risposta sarebbe 6,66 telecamere, allora si considera il numero intero, quindi non si avrà mai bisogno di più di 6 telecamere. Nel 1978 Steve Fisk, professore di matematica al Bowdoin College nel Maine, negli Stati Uniti, fornì una più approfondita dimostrazione. La sua strategia consisteva nel dividere la galleria in triangoli come nell’immagine a sinistra della figura seguente. Dimostrò poi che è possibile scegliere solo tre colori – diciamo rosso, giallo e blu – e assegnare un colore diverso agli angoli di ciascun triangolo. Ciò significa che ogni triangolo nella galleria avrà un colore diverso nei suoi tre angoli come disegnato nell’immagine a destra in figura. Questa tecnica è nota come “tricolorazione” degli angoli.

I triangoli sono uno di quei poligoni convessi, a cui abbiamo accennato nell’introduzione ai problemi, quindi una telecamera posizionata in qualsiasi angolo o in qualsiasi punto interno può vedere ogni lato interno del triangolo. E ora l’eleganza della dimostrazione di Fisk: basta scegliere il colore con il minor numero di puntini e si coprirà comunque l’intera galleria. Nel nostro caso i puntini sono: 4 rossi, 5 blu e 6 gialli. Verranno scelti i puntini rossi perciò occorrono al massimo 4 telecamere. In realtà il punto rosso in alto a sinistra non è necessario perché la telecamera rossa successiva può coprire l’intero spazio di sorveglianza, quindi sono necessarie solo 3 telecamere posizionate nei tre punti rossi restanti.  

4. Una pinacoteca con 14 angoli angoli è schematizzata in figura. Quante telecamere occorrono e dove posizionarle negli angoli per sorvegliare tutti i muri della pinacoteca?

4. SOLUZIONE. La pinacoteca dalle pareti ad angolo retto si può dividere in rettangoli, ciascuno dei quali avrà bisogno di non più di un guardiano per sorvegliare i muri. Il numero di guardiani o telecamere negli angoli, che sarebbe forse necessario ma è sempre sufficiente, è la parte intera del numero totale di angoli diviso 4, quindi 14/4 = 3,5 ossia con al massimo 3 telecamere si potranno vedere tutte le pareti. Analizzando la pianta della galleria si può rilevare che sono necessarie solo due telecamere posizionate negli angoli con l’asterisco in figura seguente. Ovviamente la struttura con angoli retti è molto più economica, per quanto riguarda i costi per le telecamere o gli stipendi, rispetto alle altre strutture viste in precedenza. Ad esempio se ci fossero 150 angoli, la struttura senza angoli retti avrebbe bisogno al massimo di 50 guardiani (150/3 = 50) mentre per quella con le pareti ad angolo retto ne occorrerebbero al massimo 37 (150/4 = 37,5).

5. La pianta di una pinacoteca tradizionale, disegnata in figura, è suddivisa in 10 stanze con angoli retti. Quante telecamere occorrono e dove posizionarle per sorvegliare la pinacoteca?

5. SOLUZIONE. In questo caso si può dividere la pinacoteca in una serie di rettangoli non sovrapposti e collocare un guardiano sulla soglia che separa due stanze così entrambi i locali sarebbero sorvegliati contemporaneamente. Ovviamente non c’è guardiano che possa vigilare allo stesso tempo tre o più stanze. In questa tipologia di problemi, il numero di sorveglianti sufficiente e a volte necessario per il controllo dell’intera galleria è dato dal numero intero uguale o immediatamente superiore al [(numero di stanze)/2]  quindi 10/2 = 5. Sarebbe questo un uso ancor più parsimonioso, rispetto ai casi precedenti, delle risorse economiche. In figura proponiamo una possibile collocazione dei 5 sorveglianti.

Per completezza. Nella sua testimonianza, la direttrice Des Cars ha anche riconosciuto che le telecamere perimetrali del Louvre non coprono tutte le pareti esterne. “Non abbiamo individuato l’arrivo dei ladri abbastanza presto… la debolezza della nostra protezione perimetrale è nota”, ha affermato. I Problemi della Galleria d’Arte proposti in questa puntata riguardano la parte interna della struttura, ma fortunatamente esistono altre versioni del problema, note come Problema della Fortezza o Problema della Prigione, che risolvono la questione della copertura delle telecamere all’esterno dell’edificio. Ciò che entrambe le varianti rivelano, tuttavia, è che trovare i punti di osservazione giusti è essenziale. Il problema delle Gallerie d’Arte trova applicazioni in una vasta gamma di settori in cui visibilità e copertura sono fondamentali. In robotica, ad esempio, aiuta i sistemi autonomi a migliorare l’efficienza e a prevenire le collisioni. Nella pianificazione urbana, influenza il posizionamento di antenne radio, stazioni di trasmissione per telefonia mobile o rilevatori di inquinamento per garantire una copertura completa degli spazi pubblici.Le strategie di gestione delle catastrofi utilizzano principi simili per posizionare i droni e sorvegliare dall’alto i siti su larga scala o per localizzare stazioni mediche sul campo. Nell’editing di immagini e nella visione artificiale, il problema delle Gallerie d’Arte può aiutare a identificare le aree visibili all’interno di una scena. Può aiutare a garantire che gli artisti siano sempre illuminati sul palco e persino aiutare i musei a garantire che le loro gallerie siano adeguatamente illuminate.

Un’interessante curiosità che fa riflettere. La Böcker Maschinenwerke GmbH, impresa tedesca produttrice della scala meccanica usata dagli autori del furto, ha riconosciuto un suo prodotto nelle immagini della rapina e ha ideato una campagna social diventata virale, trasformando un furto milionario in una originale forma di pubblicità.

I Giochi del Lunedì di Prisma tornano tra due settimane.