158. Giochi del 22 settembre 2025 – Bentornata scuola.

21 risposte

1. Problema 2. 3q+c=27 ; 2q+c+t=24 ;2c+t=21
   Direi sistema di 3 equazioni lineari in 3 incognite, risolvibile.😎

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2. SMALL PIPE DIAMETER = 16 cm

   

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3. Allego immagine

   

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4. Le circonferenze che si baciano sono certamente 4 più un’altra piccola aggiunta, sono le “circonferenze di Soddy”, note anche come “cerchi che si baciano” o nel contesto del teorema di Descartes, sono quattro circonferenze che sono tangenti a due a due. Il loro legame è descritto dalla formula di Soddy, una relazione quadratica tra le curvature delle quattro circonferenze, che permette di calcolare una quarta circonferenza tangente, date le altre tre.  Quello che ho applicato era effettivamente il Teorema di Descartes dei QUATTRO (NON tre) cerchi tangenti.

   

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   1. Credo che la risoluzione per questa via sia più elegante e generale rispetto al metodo basato sul Teorema di Pitagora, perché si applica direttamente alle curvature dei cerchi. Certo nel caso specifico usare Pitagora è oltremodo diretto. Che ne pensate?

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      1. Sono d’accordo e la storia di Soddy e il collegamento con il dipinto di Hayez sono avvincenti. Tks.

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5. N. 1. Vedi immagine

   

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6. N. 4. Vedi immagine

   

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7. Problema 3. Indicando con a e b i raggi dei due cerchi contenuti nel cerchio grande di raggio R=24/2=12 cm. Per il Teorema di Descartes dei quattro cerchi tangenti la formula è
   (2/a+2/b-1/R)^2=2(2/a^2+2/b^2+1/R^2), dove a=R/2 per cui
   (4/R+2/b-1/R)^2=2(8/R^2+2/b^2+1/R^2), (3/R+2/b)^2=2(9/R^2+2/b^2)
   4/b^2 + 12/(b R) + 9/R^2 = 18/R^2+4/b^2
   12/(b R)= 9/R^2, 12/b=9/R, b=12/9R
   Dunque per R=12 è b=4/3*12=4*4=16.

   

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   1. Ho cercato una strada alternativa, ma credo sia errata, devo ricontrollarla!

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      1. Ottimo, il Teorema di Descartes (le circonferenze che si baciano a cui hanno dedicato anche una poesia) 👏👏

         Da Wikipedia “Problemi geometrici relativi a circonferenze tangenti furono studiati fin dall’antica Grecia; Apollonio di Perga, nel III secolo a.C. dedicò all’argomento un intero libro (Sulle tangenze), andato perso nel tempo.
         Fu Cartesio nel 1643 a riprendere l’argomento e a fornire una dimostrazione in una lettera alla principessa Elisabetta de Hervorden (figlia di Elisabetta di Boemia). In seguito Frederick Soddy ripropose una sua versione del teorema in versi, nella poesia The Kiss Precise, pubblicata il 20 giugno 1936 sul periodico Nature; da qui nacque anche l’usanza di chiamare circonferenze di Soddy le quattro circonferenze tangenti coinvolte nel teorema. Soddy fornì anche una dimostrazione del teorema estesa al caso di sfere tangenti…”

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         1. Grazie per il commento, mi ha incoraggiato e individuare l’errore commesso.
            Ecco dov’era l’errore: Le circonferenze che si baciano sono essenzialmente 3 quelle interne, due grandi e una piccola, la quarta è quella che le contiene!
            Indicando con a e b i raggi dei due cerchi contenuti nel cerchio grande di raggio R=24 occorre trovare i diametri del tubo piccolo, 2b=?
            Per il Teorema di Descartes dei TRE cerchi tangenti la formula è
            (2/a+1/b-1/R)^2=2(2/a^2+1/b^2+1/R^2), dove a=R/2=12
            per cui (4/R+1/b-1/R)^2=2(8/R^2+1/b^2+1/R^2)
            (3/R+1/b)^2=2(9/R^2+1/b^2)
            1/b^2+6/(bR)+9/R^2=18/R^2+2/b^2
            1/b^2-6/(bR)+9/R^2=0
            (R/b)^2-6R/b+9=0
            Quindi R/b=3 e quindi b=24/3=8 ovvero 2b=16.

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            1. Le circonferenze che si baciano sono certamente 4 più un’altra piccola aggiunta, sono le “circonferenze di Soddy”, note anche come “cerchi che si baciano” o nel contesto del teorema di Descartes, sono quattro circonferenze che sono tangenti a due a due. Il loro legame è descritto dalla formula di Soddy, una relazione quadratica tra le curvature delle quattro circonferenze, che permette di calcolare una quarta circonferenza tangente, date le altre tre.  Quello che ho applicato è effettivamente il Teorema di Descartes dei QUATTRO (NON tre) cerchi tangenti ben trattato anche qui
               https://keespopinga.blogspot.com/2010/06/circonferenze-che-si-baciano.html

               

8. Problema Vasi.
   2 ciotole aumentano l’h. di 4. Quindi una aggiuntiva è 4/2=2
   6ciotole 13+(2*2)=17 cm.

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9. N. 3. Vedi immagine

   

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10. Problema 4. Siano: T=√3r²/4 l’area del triangolo equilatero interno e S+T=πr²60/360=πr²/6 l’area del settore circolare, da cui S=πr²/6 -T. Quindi, B=T-S=T-(πr²/6 -T)=2T-πr²/6=√3r²/2-πr²/6=(√3/2-π/6)r².
    Per 2r=100m è B=50^2×0.342427..=2500×0.342427.. ≈ 856.0675.. m^2

    

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11. Problema 2. Siano rispettivamente q, c, t i pesi di una pietra quadrata, circolare e triangolare, risolvi il sistema lineare: 3q+c=27, 2q+t+c=24, 2c+t=21 e ottieni c = 9, q = 6, t = 3. Il peso di ogni forma di pietra è: Quadrato (q): 6g, Cerchio (c): 9g, Triangolo (t): 3g.

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    1. Ottimo Sergio, sempre chiarissimo.

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12. L’altezza di 2 ciotole in più è di 13-9=4 cm/2 ciotole = 2 cm/c aggiunta. Quindi, se alle due ciotole di 9 cm ne aggiungiamo altre 4 per averne 6 di ciotole, l’altezza sarà: 9 cm +4*2 cm/c=17 cm.

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13. Problema 3. vedi immagine

    

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14. Problema 4. L’area che riceverà ciascun figlio è data dal doppio dell’area del triangolo di 50 m di lato meno l’area del settore circolare rosso (vedi immagine allegata)
    50*50*sqrt(3)/2 – 50*50*PI/6 = 2500(sqrt(3)/2-PI/6) = ~856.06657 m^2.

    

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