163. Soluzioni del 1° dicembre 2025 – Un biliardo semicircolare
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Soluzioni del 1° dicembre 2025 a cura di Fabio Ciuffoli
Ieri abbiamo proposto 5 problemi graduati a difficoltà crescente: bronzo, argento, oro e diamante tratti dal libro a A ring of cats and dogs and other curious puzzle di Daniel Griller. Di seguito pubblichiamo le nostre proposte di soluzione.
Un biliardo semicircolare – soluzioni
1. Un cerchio di diametro 11 cm viene piegato lungo linee orizzontali, poi lungo linee verticali, come mostrato in figura, con i bordi che si incontrano al centro del cerchio dopo ogni piega. Qual è l’area della forma risultante?
1. SOLUZIONE. Dopo le pieghe, come mostrato in figura seguente, ci ritroviamo con un quadrato di lato 11/2 = 5,5. L’area della figura risultante è 5,5 • 5,5 = 30,25 cm2.
2. L’area del triangolo ombreggiato è 4 m2 e AB = 3 m. Calcolare la lunghezza BC.
2. SOLUZIONE. L’area di un triangolo è base x altezza / 2. L’area del triangolo ombreggiato è 4 e la base è 3 quindi si determina l’altezza = 2A/base = 8/3 m. Anche l’altezza del triangolo non ombreggiato è 8/3 e l’angolo MBD è (180 – 135) = 45° perciò il triangolo BDC è isoscele e rettangolo come illustrato in figura. Tracciando una linea verticale lungo il centro del triangolo non ombreggiato DM, lo si divide in due triangoli isosceli rettangoli più piccoli e identici. Quindi BC è il doppio dell’altezza del triangolo non ombreggiato, ossia 16/3 m.
3. Una moneta dalla circonferenza di 10 cm rotola, senza scivolare, attorno al perimetro di un quadrato di lato 10 cm. Percorre il quadrato partendo e arrivando nella posizione mostrata nel disegno. Calcolare il numero totale di gradi di rotazione della moneta durante l’intero percorso.
3. SOLUZIONE. La circonferenza della moneta è uguale alla lunghezza del quadrato quindi percorrendo ogni lato, la moneta compie un giro completo. Tuttavia, una volta raggiunto un vertice del quadrato, compie un quarto di giro prima di rotolare lungo il lato successivo (provate voi stessi per credere). Perciò per percorrere l’intero perimetro del quadrato, la moneta compie cinque giri completi. Ogni giro della moneta corrisponde a 360° per cui dopo 5 giri il totale dei gradi di rotazione è 5 • 360 = 1.800°.
4. Il disegno è composto da triangoli isosceli rettangoli di tre differenti grandezze. Calcolare l’area totale.
4. SOLUZIONE. Il disegno è composto da due grandi, quattro medi e otto piccoli triangoli isosceli rettangoli. Due triangoli medi possono essere disposti per riempire un triangolo grande, Quattro triangoli piccoli possono essere disposti per riempire un triangolo medio, quindi ogni triangolo grande ha area uguale a quella di otto triangoli piccoli. L’area totale è uguale a quella di 2 • 8 + 4 • 4 + 8 = 40 triangoli piccoli. Si può vedere che quattro triangoli piccoli possono essere disposti per formare un quadrato di area 1 u2, quindi l’area totale è 10 u2.
5. Una palla è ferma in un angolo di un tavolo da biliardo semicircolare. La palla viene lanciata dal punto start con un angolo x°. La palla rimbalza contro la parete curva per un totale di tre volte e contro la parete dritta due volte prima di sparire esattamente nella buca all’altro angolo al punto finish, come mostrato in figura. Ogni volta che la palla colpisce una parete, gli angoli prima e dopo la collisione sono uguali. Qual è il valore di x°?
5. SOLUZIONE. Tracciamo il disegno del percorso riflesso rispetto al diametro, come mostrato in figura. Il fatto che gli angoli prima e dopo ogni collisione siano uguali, significa che ci sono diversi angoli uguali attorno a B e D, indicati con y° in figura.
Ora consideriamo la figura seguente in cui è stato aggiunto il centro del cerchio O. Poiché tutti i raggi hanno la stessa lunghezza e gli angoli sono uguali prima e dopo le collisioni, il disegno contiene quattro triangoli isosceli identici, OCF, OAC, OEA e OGE, ciascuno con due angoli alla base uguali. Concentrando l’attenzione sul centro del cerchio O, vediamo che la somma degli angoli FOC + COA + AOE + EOG è uguale a una rivoluzione e mezza o 540°.
La somma degli angoli interni di tutti e quattro i triangoli isosceli è 4 x 180 = 720° quindi gli angoli contrassegnati con x sommano 720 – 540 = 180°. Infine, ci sono otto angoli x, quindi x = 180/8 = 22,5.
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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.